6-1. 수열과 급수의 기초 정리: 코시 판정법, 상한/하한, 근 판정법 및 비 판정법

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★본문의 더보기는 증명또는 풀이입니다.

 

복소수열 및 실수열에 대한 급수의 수렴성을 판단하는 것은 해석학 및 복소해석학의 기초이자 핵심이다. 이번에는 급수의 정의부터 시작하여 코시 판정법, 상한/하한(limsup, liminf)의 개념, 그리고 근 판정법(Root test)과 비 판정법(Ratio test)까지 엄밀한 증명과 함께 정리해 본다.

1. 급수(Series)와 부분합(Partial Sum)의 개념

수열 ${a_n}_{n \ge 1}$이 주어졌을 때, 각 $n$에 대하여 부분합 $s_n$을 다음과 같이 정의한다.

$$s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$$

이때 기호 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$를 급수(Series)라 부른다.

• 부분합 수열 ${s_n}$이 극한값 $s$로 수렴할 때, 급수 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$는 $s$로 수렴(converge)한다고 하며 $s = \sum_{k=1}^{\infty} a_k$로 나타낸다.
• ${s_n}$이 수렴하지 않으면 해당 급수는 발산(diverge)한다고 한다.

[정리 1] 수열과 급수의 상호 전환성

임의의 수열 $\{s_n\}_{n \ge 1}$에 대하여, $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$를 만족하는 수열 ${a_n}_{n \ge 1}$이 항상 존재한다.

[증명]

$a_1 = s_1$, 그리고 $n > 1$에 대해 $a_n = s_n - s_{n-1}$로 정의하면 다음이 성립한다.

$$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + \sum_{k=2}^{n}(s_k - s_{k-1}) = s_1 + (s_n - s_1) = s_n$$

따라서 수열과 급수는 수학적으로 완전히 동등한 대상이다. 

2. 급수의 선형성과 코시 판정법 (Cauchy Criterion)

수열의 극한이 선형 연산(Linear operation)이므로, 급수 역시 선형성을 가진다.

[명제 1] 급수의 선형성

$\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \alpha$이고 $\sum_{k=1}^{\infty} b_k = \beta$이면, 임의의 복소수 $c$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\sum_{k=1}^{\infty} (a_k \pm b_k) = \alpha \pm \beta$
2. $\sum_{k=1}^{\infty} c a_k = c \alpha$

[명제 2] 급수의 코시 판정법 (Cauchy Criterion)

급수 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$가 수렴할 필요충분조건은 임의의 $\epsilon > 0$에 대하여 적당한 정수 $N$이 존재하여, $m > n > N$인 모든 $m, n$에 대해 다음을 만족하는 것이다.

$$\left\vert{} s_m - s_n \right\vert{} = \left\vert{} \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right\vert{} < \epsilon$$

$m = n + p$ ($p \ge 1$)로 두면 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$$\left\vert{} \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \right\vert{} < \epsilon \quad (\forall n > N, p \ge 1)$$

[증명]

급수 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$의 $n$번째 부분합을 $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$라 한다.

[수열의 코시 판정법의 정리]

실수 및 복소수 공간(완비거리공간 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$)에서 수열 ${s_n}$이 수렴할 필요충분조건은 ${s_n}$이 코시 수열(Cauchy sequence)이 되는 것이다.

즉, ${s_n}$이 수렴할 필요충분조건은 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 자연수 $N$이 존재하여 $m > n > N$인 모든 $m, n$에 대해 다음을 만족하는 것이다.

$$\vert{}s_m - s_n\vert{} < \epsilon$$

[급수에의 적용]

이제 $s_m$과 $s_n$ ($m > n$)의 차를 계산해 본다.

$$s_m = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + a_{n+1} + \cdots + a_m$$

$$s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$$

따라서,

$$s_m - s_n = \sum_{k=n+1}^{m} a_k$$

가 된다.

[양방향 동등성 증명]

$(\Rightarrow)$ 급수가 수렴하면 코시 조건을 만족한다 (필요성)

급수 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$가 어떤 값 $s$로 수렴한다고 가정하자.

그러면 정의에 의해 부분합 수열 ${s_n}$이 $s$로 수렴한다.

수렴하는 수열은 코시 수열이므로, 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 자연수 $N$이 존재하여 $m > n > N$일 때마다 다음이 성립한다.

$$\vert{}s_m - s_n\vert{} < \epsilon \implies \left\vert{} \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right\vert{} < \epsilon$$

$(\Leftarrow)$ 코시 조건을 만족하면 급수가 수렴한다 (충분성)

임의의 $\epsilon > 0$에 대해 자연수 $N$이 존재하여 $m > n > N$일 때마다 $\left\vert{} \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right\vert{} < \epsilon$이라 가정하자. 이는 부분합 수열 ${s_n}$에 대해 $\vert{}s_m - s_n\vert{} < \epsilon$이 성립함을 의미하므로, ${s_n}$은 코시 수열이다.

실수/복소수 체계의 완비성(Completeness)에 의하여 코시 수열 ${s_n}$은 어떤 극한값 $s$로 수렴한다.

따라서 정의에 의해 급수 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$는 수렴한다.

[명제 3] 급수 수렴의 필요조건 ($n$항 판정법)

급수 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$가 수렴하면, $\lim_{k \to \infty} a_k = 0$이다.

[증명] 

코시 판정법에서 $p = 1$로 두면, 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $n > N$일 때 $\vert{}a_{n+1}\vert{} < \epsilon$을 얻는다. 따라서 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$이다. 

3. 절대수렴과 양항급수

급수 $\sum_{k=1}^{\infty} \vert{}a_k\vert{}$가 수렴할 때, 원 급수 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$는 절대수렴(absolutely convergent)한다고 한다.

 

[명제 4] 절대수렴과 조건수렴의 관계

급수 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$가 절대수렴하면, 이 급수는 수렴한다.

[증명]

삼각부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$\left\vert{} \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \right\vert{} \le \sum_{k=n+1}^{n+p} \vert{}a_k\vert{}$$

$\sum \vert{}a_k\vert{}$가 수렴하므로 코시 판정법에 의해 우변을 $\epsilon$보다 작게 만들 수 있으며, 따라서 좌변도 $\epsilon$보다 작아져 $\sum a_k$가 수렴한다. 

[정리 2] 양항급수와 부분합의 유계성

$a_n > 0$인 양항급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴할 필요충분조건은 부분합 수열 ${s_n}$이 위로 유계(bounded above)인 것이다. 즉, 모든 자연수 $n$에 대해 $a_n \ge 0$인 양항급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$에 대하여,

$$\text{급수 } \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{이 수렴한다} \iff \text{부분합 수열 } \{s_n\} \text{이 위로 유계(bounded above)이다.}$$

[증명]

양항급수의 $n$번째 부분합을 $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$라 하자.

[수열 ${s_n}$의 단조성]

모든 $n \ge 1$에 대해 $a_{n+1} \ge 0$이므로 다음이 성립한다.

$$s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n$$

따라서 부분합 수열 ${s_n}$은 단조증가수열(monotonically increasing sequence)이다.

[양방향 동등성 증명]

$(\Rightarrow)$ 급수가 수렴하면 부분합 수열 ${s_n}$은 위로 유계이다.

급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴한다고 가정하면, 정의에 의해 부분합 수열 $\{s_n\}$은 어떤 실수 $s$로 수렴한다 ($\lim_{n \to \infty} s_n = s$).

수렴하는 모든 수열은 유계(bounded)이므로, 부분합 수열 ${s_n}$은 위로 유계이다.

$(\Leftarrow)$ 부분합 수열 ${s_n}$이 위로 유계이면 급수는 수렴한다.

부분합 수열 ${s_n}$이 위로 유계라고 가정하자.

앞서 확인했듯 ${s_n}$은 단조증가수열이다.

단조수렴 정리(Monotone Convergence Theorem)에 의해, *'단조증가하고 위로 유계인 실수열은 반드시 수렴'*한다.

따라서 부분합 수열 ${s_n}$은 수렴하며, 그 극한값을 $s = \sup {s_n}$이라 할 때 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 $s$로 수렴한다.

←양항급수에서는 각 항이 양수이므로 부분합이 절대로 줄어들지 않고 계속 증가만 한다. 따라서 "값이 폭발(무한대로 발산)하지 않고 상한선(유계)이 막혀 있는가?"만 확인하면 바로 수렴성을 보장받을 수 있다.

 

4. 급수와 부분합의 분산/수렴 속도 정리

[정리 3] (부분합 분모 정리를 통한 발산/수렴성)

$a_n > 0$이고 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 발산할 때, 부분합을 $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$라 하자.

1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{s_n}$ 은 발산한다.
2. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{s_n^2}$ 은 수렴한다.

[증명]

(1) 코시 판정법을 적용하기 위해 다음을 관찰한다. ${s_n}$은 단조증가하므로,

$$\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{a_k}{s_k} \ge \frac{\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k}{s_{n+p}} = \frac{s_{n+p} - s_n}{s_{n+p}} = 1 - \frac{s_n}{s_{n+p}}$$

$\sum a_n$이 발산하므로 $p \to \infty$일 때 $s_{n+p} \to \infty$이다. 따라서 $s_{n+p} > 2s_n$이 되도록 충분히 큰 $p$를 선택할 수 있다.

이 경우 $\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{a_k}{s_k} > 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$이 되어 코시 판정법을 만족하지 못하므로 발산한다.

(2) 다음 부등식을 이용한다.

$$\frac{a_n}{s_n^2} \le \frac{a_n}{s_n s_{n-1}} = \frac{s_n - s_{n-1}}{s_n s_{n-1}} = \frac{1}{s_{n-1}} - \frac{1}{s_n}$$

따라서 $n+1$부터 $n+p$까지 합하면 망원급수(Telescoping sum) 형태가 된다.

$$\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{a_k}{s_k^2} \le \sum_{k=n+1}^{n+p} \left( \frac{1}{s_{k-1}} - \frac{1}{s_k} \right) = \frac{1}{s_n} - \frac{1}{s_{n+p}} < \frac{1}{s_n}$$

$s_n \to \infty$이므로 충분히 큰 $n$에 대해 $\frac{1}{s_n} < \epsilon$으로 만들 수 있다. 따라서 수렴한다.

[명제 5]( 비교판정법(Comparison Test) )

모든 자연수 $n$에 대하여 $0 \le a_n \le b_n$을 만족하는 두 양항급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$과 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$이 존재한다고 하자.

1. [수렴 판정] 더 큰 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$이 수렴하면, 더 작은 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$도 수렴한다.
2. [발산 판정] 더 작은 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 발산하면, 더 큰 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$도 발산한다.

[증명]

두 급수의 $n$번째 부분합을 각각 $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$, $t_n = \sum_{k=1}^{n} b_k$라 한다.

$0 \le a_k \le b_k$이므로 모든 $n$에 대해 다음이 성립한다.

$$0 \le s_n \le t_n$$

또한 두 수열 ${s_n}$과 ${t_n}$은 항이 양수이므로 모두 단조증가수열이다.

(1) $\sum b_n$이 수렴할 때:

급수 $\sum b_n$이 수렴하므로 부분합 수열 ${t_n}$은 위로 유계이다. 즉, 어떤 실수 $M > 0$이 존재하여 모든 $n$에 대해 $t_n \le M$이다.

따라서 $s_n \le t_n \le M$이 되어 부분합 수열 $\{s_n\}$ 역시 위로 유계이다.

양항급수에서 부분합 수열이 단조증가하고 위로 유계이면 수렴하므로(단조수렴 정리), $\sum a_n$은 수렴한다.

 

(2) $\sum a_n$이 발산할 때:

급수 $\sum a_n$이 발산하므로 단조증가하는 부분합 수열 ${s_n}$은 위로 유계가 아니며, $\lim_{n \to \infty} s_n = \infty$이다.

$s_n \le t_n$이므로 조임 정리(또는 부등식의 극한 성질)에 의해 $\lim_{n \to \infty} t_n = \infty$가 된다.

따라서 $\sum b_n$도 발산한다. 

극한비교판정법 (Limit Comparison Test)

부등식을 직접 세우기 모호한 경우에는 두 수열의 비율 극한을 사용하는 극한비교판정법을 활용하면 편리하다.

$a_n > 0, b_n > 0$일 때, $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$이라 하자.

$0 < L < \infty$ 인 경우:

• 두 급수 $\sum a_n$과 $\sum b_n$은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.

$L = 0$ 인 경우:

• $\sum b_n$이 수렴하면 $\sum a_n$도 수렴한다.

$L = \infty$ 인 경우:

• $\sum b_n$이 발산하면 $\sum a_n$도 발산한다.

5. 상한/하한 (limsup, liminf) 및 근/비 판정법

실수열 ${a_n}$에 대해, 부분수열의 극한값들의 집합 $A$의 상한을 상극한(limit superior)이라 하고 $\limsup_{n \to \infty} a_n$으로 나타낸다.

 

[정리 4] 근 판정법 (Root Test)

복소수열 ${a_n}$에 대하여 $L = \limsup_{n \to \infty} \vert{}a_n\vert{}^{1/n}$이라 하자.

1. $L < 1$이면, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 절대수렴한다.
2. $L > 1$이면, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 발산한다.
3. $L = 1$인 경우 판정이 불가능하다.

[증명]

• $L < 1$: $L < r < 1$인 실수 $r$을 잡으면, 충분히 큰 $n > N$에 대해 $\vert{}a_n\vert{}^{1/n} < r \implies \vert{}a_n\vert{} < r^n$이 성립한다. 등비급수 $\sum r^n$이 수렴하므로 비교판정법에 의해 절대수렴한다.
• $L > 1$: 무한히 많은 $n$에 대해 $\vert{}a_n\vert{} > 1^n = 1$이 되므로 $a_n \not\to 0$입니다. 따라서 발산한다. 

[정리 5] 비 판정법 (Ratio Test)

복소수열 ${a_n}$에 대하여 $L = \limsup_{n \to \infty} \left\vert{} \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert{}$, $l = \liminf_{n \to \infty} \left\vert{} \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert{}$이라 하자.

1. $L < 1$이면 급수는 절대수렴한다.
2. $l > 1$이면 급수는 발산한다.

[증명]

 $L < 1$ 일 때의 증명 (절대수렴)

$L < 1$ 이므로 $L < r < 1$ 을 만족하는 실수 $r$을 선택할 수 있다.

상극한의 정의에 의하여, $\limsup_{n \to \infty} \left\vert{} \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert{} = L < r$ 이므로, 적당한 자연수 $N$이 존재하여 모든 $n \ge N$에 대해 다음이 성립한다.

$$\left\vert{} \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert{} < r$$

이제 $n > N$ 인 경우에 대해 부등식을 순차적으로 적용해 본다.

• $\vert{}a_{N+1}\vert{} < r \vert{}a_N\vert{}$
• $\vert{}a_{N+2}\vert{} < r \vert{}a_{N+1}\vert{} < r^2 \vert{}a_N\vert{}$
• $\vert{}a_{N+3}\vert{} < r \vert{}a_{N+2}\vert{} < r^3 \vert{}a_N\vert{}$
• $\dots$
• $\vert{}a_{N+k}\vert{} < r^k \vert{}a_N\vert{} \quad (k \ge 1)$

$n = N + k$ 로 두면, 모든 $n > N$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\vert{}a_n\vert{} < \vert{}a_N\vert{} r^{n-N} = \left( \frac{\vert{}a_N\vert{}}{r^N} \right) r^n$$

여기서 $M = \frac{\vert{}a_N\vert{}}{r^N}$ 은 $n$과 무관한 상수이다.

따라서 모든 $n > N$ 에 대해 $\vert{}a_n\vert{} < M r^n$ 이 성립한다.

이때 급수 $\sum_{n=N+1}^{\infty} M r^n = M \sum_{n=N+1}^{\infty} r^n$ 은 공비가 $0 < r < 1$ 인 등비급수이므로 수렴한다.

따라서 비교판정법(Comparison Test)에 의해 급수 $\sum_{n=N+1}^{\infty} \vert{}a_n\vert{}$ 도 수렴하며, 유한개의 항을 더한 원 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \vert{}a_n\vert{}$ 역시 수렴한다.

즉, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 절대수렴한다.

 

$l > 1$ 일 때의 증명 (발산)

$l > 1$ 이므로 $1 < r < l$ 을 만족하는 실수 $r$을 선택할 수 있다.

하극한의 정의에 의하여, $\liminf_{n \to \infty} \left\vert{} \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert{} = l > r > 1$ 이므로, 적당한 자연수 $N$이 존재하여 모든 $n \ge N$에 대해 다음이 성립한다.

$$\left\vert{} \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert{} > r > 1$$

따라서 모든 $n \ge N$ 에 대하여,

$$\vert{}a_{n+1}\vert{} > \vert{}a_n\vert{}$$

이 성립한다. 이는 $n \ge N$ 이후로 절댓값 $\vert{}a_n\vert{}$ 이 단조증가함을 의미하므로, 모든 $n \ge N$ 에 대해 다음 부등식이 성립한다.

$$\vert{}a_n\vert{} \ge \vert{}a_N\vert{} > 0$$

따라서 $n \to \infty$ 일 때 $\vert{}a_n\vert{}$ 의 극한은 $0$이 될 수 없다 ($\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$).

급수가 수렴하기 위한 필요조건인 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 을 만족하지 못하므로, $n$항 판정법(Divergence Test)에 의해 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 발산한다. 

단일 극한으로의 귀결

만약 $\lim_{n \to \infty} \left\vert{} \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert{}$ 이 존재한다면, 상극한과 하극한은 동일한 극한값으로 일치하게 된다.

$$\lim_{n \to \infty} \left\vert{} \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert{} = L$$

• $L < 1$ 이면 절대수렴
• $L > 1$ 이면 발산
• $L = 1$ 인 경우에는 비 판정법으로 수렴/발산 여부를 판단할 수 없음 (추가적인 판정법 필요)

[예제 1] 다음 급수의 수렴성을 조사하고, 수렴한다면 그 합을 구하여라.$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad \text{여기서 } a_n = \frac{1}{4^n} + i \frac{1}{5^n}$$

[풀이]

실수부와 허수부를 나누어 각각의 공비를 확인한다.

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n$ 은 첫째항이 $1/4$, 공비 $r = 1/4 (\vert{}r\vert{} < 1)$인 등비급수이므로 수렴한다.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}$$

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^n$ 역시 첫째항 $1/5$, 공비 $r = 1/5 (\vert{}r\vert{} < 1)$로 수렴한다.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n} = \frac{1/5}{1 - 1/5} = \frac{1}{4}$$

급수의 선형성에 의하여 원 급수는 수렴하며, 그 합은 다음과 같다.

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{1}{3} + i \frac{1}{4}$$

 

[예제 2] 수열 $a_n = \left(1 + \frac{2}{n}\right) \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ 의 $\limsup_{n\to\infty} a_n$ 과 $\liminf_{n\to\infty} a_n$ 을 구하여라.

[풀이]

$\sin(n\pi/2)$의 주기에 따라 $n$을 4로 나눈 여향으로 나눈다.

$n = 4k + 1$ 일 때: $\sin((4k+1)\pi/2) = 1$

 

$$a_{4k+1} = \left(1 + \frac{2}{4k+1}\right) \cdot 1 \longrightarrow 1$$

$n = 4k + 3$ 일 때: $\sin((4k+3)\pi/2) = -1$

$$a_{4k+3} = \left(1 + \frac{2}{4k+3}\right) \cdot (-1) \longrightarrow -1$$

$n$이 짝수일 때: $\sin(n\pi/2) = 0 \implies a_n = 0$

따라서 부분수열의 극한값의 집합은 $\{-1, 0, 1\}$ 이다.

• $\limsup_{n\to\infty} a_n = \max\{-1, 0, 1\} = \mathbf{1}$
• $\liminf_{n\to\infty} a_n = \min\{-1, 0, 1\} = \mathbf{-1}$

 [예제 3] 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2+i)^n}{n!}$ 의 수렴 여부를 비 판정법으로 판정하여라.

[풀이]

$a_n = \frac{(2+i)^n}{n!}$라 하면,

$$\left\vert{} \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert{} = \left\vert{} \frac{(2+i)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(2+i)^n} \right\vert{} = \frac{\vert{}2+i\vert{}}{n+1} = \frac{\sqrt{2^2 + 1^2}}{n+1} = \frac{\sqrt{5}}{n+1}$$

극한을 취하면,

$$L = \lim_{n\to\infty} \left\vert{} \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert{} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{5}}{n+1} = 0$$

$L = 0 < 1$이므로, 비 판정법에 의해 해당 급수는 절대수렴한다.

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