[본문글] 3-7. 이변수함수의 극값과 안장점 (Extreme Values and Saddle Points)
[문제 1]함수$f(x, y) = x^3 + y^3 - 6xy + 2$의 모든 임계점을 구하고, 극값 및 안장점을 분류하여라.
[풀이]
1계 편도함수 구하기 및 임계점:
$$f_x = 3x^2 - 6y = 0 \implies y = \frac{1}{2}x^2$$
$y = \frac{1}{2}x^2$ 식을 $x = \frac{1}{2}y^2$ 에 대입하면:$$x = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2 = \frac{1}{8}x^4 \implies x^4 - 8x = 0 \implies x(x^3 - 8) = 0$$
실수해는 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 이다.
$x = 0 \implies y = 0 \implies$ 임계점 $(0, 0)$
$x = 2 \implies y = 2 \implies$ 임계점 $(2, 2)$
2계 편도함수 및 판정식 $D$:$$f_{xx} = 6x, \quad f_{yy} = 6y, \quad f_{xy} = -6$$
$$D(x, y) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (6x)(6y) - (-6)^2 = 36xy - 36$$
각 임계점 판정:
점 $(0, 0)$: $D(0, 0) = -36 < 0 \implies$ 안장점 (Saddle Point)
점 $(2, 2)$: $D(2, 2) = 36(4) - 36 = 108 > 0$ 이고 $f_{xx}(2, 2) = 12 > 0 \implies$ 극소값
[문제 2]$x > 0, y > 0$ 영역에서 함수 $f(x, y) = xy + \frac{16}{x} + \frac{16}{y}$ 의 임계점을 구하고 극값을 판정하여라.
[풀이]
1계 편도함수 구하기:$$f_x = y - \frac{16}{x^2} = 0 \implies y = \frac{16}{x^2}$$
$$f_y = x - \frac{16}{y^2} = 0 \implies x = \frac{16}{y^2}$$
연립방정식 풀이:$$x = \frac{16}{\left(\frac{16}{x^2}\right)^2} = \frac{x^4}{16} \implies x^3 = 16 \implies x^3 = 64 \quad (x > 0 \text{ 이므로 } x = 4)$$
$x = 4$ 대입 시 $y = \frac{16}{16} = 1$ 영역 내 임계점: $(4, 4)$
2계 편도함수 판정: $$f_{xx} = \frac{32}{x^3}, \quad f_{yy} = \frac{32}{y^3}, \quad f_{xy} = 1$$ 점 $(4, 4)$에서:$$f_{xx}(4, 4) = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}, \quad f_{yy}(4, 4) = \frac{1}{2}, \quad f_{xy} = 1$$
따라서 점 $(4, 4)$는 안장점이 되며 극값은 존재하지 않는다.
[문제 3] 영역 $R$이 제1사분면에서 직선 $x = 0$, $y = 0$, $x + y = 3$ 으로 둘러싸인 닫힌 삼각형 영역일 때, $f(x, y) = x^2 + 2y^2 - 2x$ 의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
[풀이]
내부(Interior) 임계점:
$$f_x = 2x - 2 = 0 \implies x = 1$$$$f_y = 4y = 0 \implies y = 0$$
점 $(1, 0)$은 영역의 경계선 상에 위치하므로 경계 조사에서 함께 처리한다.
경계(Boundary):
선분 1 ($x = 0, 0 \le y \le 3$):
$f(0, y) = 2y^2$ $\implies$ $y=0$일 때 $f(0, 0) = 0$, $y=3$일 때 $f(0, 3) = 18$.
선분 2 ($y = 0, 0 \le x \le 3$):임계점 $x=1$에서 $f(1, 0) = -1$, 끝점 $f(3, 0) = 3$.
$g(x) = f(x, 0) = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$
선분 3 ($y = 3 - x, 0 \le x \le 3$):$$h(x) = f(x, 3-x) = x^2 + 2(3-x)^2 - 2x = 3x^2 - 14x + 18$$
미분: $h'(x) = 6x - 14 = 0 \implies x = \frac{7}{3}$ (범위 $0 \le x \le 3$ 내 포함)$$f\left(\frac{7}{3}, \frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{7}{3}\right)^2 - 14\left(\frac{7}{3}\right) + 18 = \frac{49}{3} - \frac{98}{3} + \frac{54}{3} = \frac{5}{3}$$
값 비교 및 최종 결론:
모든 후보값: $0, 18, -1, 3, \frac{5}{3}$
최댓값: 18 (점 $(0, 3)$에서 발생)
최솟값: -1 (점 $(1, 0)$에서 발생)
[문제 4] $0 \le x \le 2$, $0 \le y \le 2$ 영역에서 $f(x, y) = 2xy - x^2 - y^2 + 4x$ 의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
[풀이]
내부 임계점:$$f_x = 2y - 2x + 4 = 0 \implies x - y = 2$$
두 식을 만족하는 해가 없으므로 영역 내부에는 임계점이 없다.
경계 조사:
$x = 0$ ($0 \le y \le 2$): $f(0, y) = -y^2 \implies$ 최댓값 $f(0, 0) = 0$, 최솟값 $f(0, 2) = -4$
$x = 2$ ($0 \le y \le 2$): $f(2, y) = 4y - 4 - y^2 + 8 = -y^2 + 4y + 4 = -(y-2)^2 + 8$ $\implies$ 최댓값 $f(2, 2) = 8$, 최솟값 $f(2, 0) = 4$
$y = 0$ ($0 \le x \le 2$): $f(x, 0) = -x^2 + 4x = -(x-2)^2 + 4$ $\implies$ 최댓값 $f(2, 0) = 4$, 최솟값 $f(0, 0) = 0$
$y = 2$ ($0 \le x \le 2$): $f(x, 2) = 4x - x^2 - 4 + 4x = -x^2 + 8x - 4$ (축 $x=4$는 영역 밖) $\implies$ $f(0, 2) = -4$, $f(2, 2) = 8$
최종 결론:
최댓값: 8 (점 $(2, 2)$)
최솟값: -4 (점 $(0, 2)$)
[문제 5] 함수 $f(x, y) = x^2 y^2$ 은 원점 $(0, 0)$에서 $D = 0$ 이 되어 2계 편도함수 판정법을 적용할 수 없다. 기하학적 분석을 통해 원점에서의 극값 여부를 설명하여라.
[풀이]
임계점 및 $D$ 확인:$$f_x = 2xy^2, \quad f_y = 2x^2y \implies f_x(0,0) = 0, f_y(0,0) = 0$$ $$f_{xx} = 2y^2, \quad f_{yy} = 2x^2, \quad f_{xy} = 4xy \implies D(0,0) = (0)(0) - 0^2 = 0$$
함수의 부호 분석:
모든 실수 $x, y$에 대해 $x^2 \ge 0$ 이고 $y^2 \ge 0$ 이므로, 항상 $f(x, y) = x^2 y^2 \ge 0$ 이 성립한다.
원점에서의 함숫값은 $f(0, 0) = 0$ 이다.
결론:
원점 주변의 모든 점 $(x, y)$에서 $f(x, y) \ge f(0, 0) = 0$ 이 성립하므로, $f(0, 0)$ 은 극소값(및 최솟값)을 가진다.
[문제 6] 함수 $f(x, y) = x^2 + kxy + 4y^2$ 이 있다.
(1) 상수 $k$의 값에 관계없이 원점 $(0, 0)$이 항상 임계점임을 보여라.
(2) $2계 편도함수 판정법$에 의해 원점 $(0, 0)$이 안장점이 되기 위한 $k$의 조건과, 극소점이 되기 위한 $k$의 조건을 구하여라.
[풀이]
(1) 임계점 증명: $$f_x(x, y) = 2x + ky, \quad f_y(x, y) = kx + 8y$$ $(x, y) = (0, 0)$을 대입하면:$$f_x(0, 0) = 2(0) + k(0) = 0, \quad f_y(0, 0) = k(0) + 8(0) = 0$$ 따라서 $k$의 값과 상관없이 $(0, 0)$은 언제나 임계점이다.
$k$의 조건 판정:
2계 편도함수를 구하면 다음과 같다.
판정식 $D$를 계산하면:
안장점(Saddle Point) 조건: $D < 0$ 이어야 하므로
극소(Local Minimum) 조건: $D > 0$ 이고 $f_{xx} > 0$ 이어야 함$$16 - k^2 > 0 \implies -4 < k < 4$$ ($f_{xx} = 2 > 0$ 이므로 항상 만족)
[문제 7] 평면 $2x + y + z = 10$ 위에서 원점 $(0, 0, 0)$과 가장 가까운 점의 좌표 및 최단 거리를 구하여라
[풀이]
거리의 제곱 함수: 원점 $(0, 0, 0)$과 평면 위 임의의 점 $(x, y, z)$ 사이 거리 $d$의 제곱 $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ 을 최소화한다. 평면의 방정식에서 $z = 10 - 2x - y$ 이므로 이를 대입하여 이변수함수 $g(x, y)$로 만든다.
편도함수를 통한 임계점:$$g_x = 2x + 2(10 - 2x - y)(-2) = 2x - 40 + 8x + 4y = 10x + 4y - 40 = 0$$ $$g_y = 2y + 2(10 - 2x - y)(-1) = 2y - 20 + 4x + 2y = 4x + 4y - 20 = 0$$
연립방정식 풀이:
$g_x - g_y = 0 \implies (10x + 4y - 40) - (4x + 4y - 20) = 6x - 20 = 0 \implies x = \frac{10}{3}$
$g_y$에 대입: $4\left(\frac{10}{3}\right) + 4y - 20 = 0 \implies 4y = 20 - \frac{40}{3} = \frac{20}{3} \implies y = \frac{5}{3}$
$z$ 값 구하기: $z = 10 - 2\left(\frac{10}{3}\right) - \frac{5}{3} = 10 - \frac{25}{3} = \frac{5}{3}$
결론:가장 가까운 점의 좌표는 $\left(\frac{10}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$ 이며, 최단 거리는 $\sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{150}{9}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$이다.
[문제 8] 합이 $6$ 인 세 양수 $x, y, z$ 에 대하여 곱 $xyz$ 가 최대가 될 때의 $x, y, z$ 값과 그 최댓값을 구하여라.
[풀이]
이변수함수로 표현:
$x + y + z = 6 \implies z = 6 - x - y$ 이므로, 목적함수는 다음과 같다.
$$f(x, y) = xy(6 - x - y) = 6xy - x^2 y - xy^2 \quad (x > 0, y > 0, x+y < 6)$$
임계점 계산:
$$f_x = 6y - 2xy - y^2 = y(6 - 2x - y) = 0$$$$f_y = 6x - x^2 - 2xy = x(6 - x - 2y) = 0$$
$x > 0, y > 0$ 이므로 연립방정식은 다음과 같이 정리된다. $$\begin{cases} 2x + y = 6 \\ x + 2y = 6 \end{cases}$$ 두 식을 연립하여 풀면 $x = 2, y = 2$ 이며, 이때 $z = 6 - 2 - 2 = 2$ 이다.
결론:
세 양수가 모두 같을 때 곱이 최대가 되므로, $x = 2, y = 2, z = 2$ 일 때 최댓값 $8$ 을 가진다.
[문제 9] 원 $x^2 + y^2 = 9$ 위에서 함수 $f(x, y) = x + 2y$ 의 최댓값과 최솟값을 매개변수 표현을 이용하여 구하여라.
[풀이]
곡선의 매개변수화:
원 $x^2 + y^2 = 9$ 위 점은 $x = 3\cos t, y = 3\sin t \quad (0 \le t \le 2\pi)$ 로 나타낼 수 있다.
일변수함수 $g(t)$ 변환 및 미분: $$g(t) = f(3\cos t, 3\sin t) = 3\cos t + 6\sin t$$ 미분하여 0이 되는 $t$ 값을 찾는다:
삼각함수의 값 계산 및 최댓값·최솟값:
$\tan t = 2$ 일 때, $\sin t = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\cos t = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ 이다.
$\sin t = \frac{2}{\sqrt{5}}, \cos t = \frac{1}{\sqrt{5}}$ 일 때:
$\sin t = -\frac{2}{\sqrt{5}}, \cos t = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ 일 때:
결론:
최댓값은 $3\sqrt{5}$, 최솟값은 $-3\sqrt{5}$ 이다.
[문제 10] 2계 편도함수 부호와 안장점
함수 $f(x, y)$가 점 $(a, b)$ 근방에서 연속인 2계 편도함수를 갖고, $(a, b)$가 임계점일 때, $f_{xx}(a, b)$ 와 $f_{yy}(a, b)$ 의 부호가 서로 다르면($(f_{xx} \cdot f_{yy} < 0$)) 점 $(a, b)$는 항상 안장점임을 설명하여라.
[풀이]
판정식 $D$ 분석:
2계 편도함수 판정식은 $D(a, b) = f_{xx}(a, b)f_{yy}(a, b) - [f_{xy}(a, b)]^2$ 이다.
부호 조건 적용:
조건에서 $f_{xx}(a, b)$ 와 $f_{yy}(a, b)$ 의 부호가 다르므로, 그 곱은 음수이다.
또한 임의의 실수 $f_{xy}(a, b)$에 대해 $[f_{xy}(a, b)]^2 \ge 0$ 이므로 $-[f_{xy}(a, b)]^2 \le 0$ 이다.
결론:$$D(a, b) = \underbrace{f_{xx}(a, b)f_{yy}(a, b)}_{< 0} - \underbrace{[f_{xy}(a, b)]^2}_{\ge 0} < 0$$
따라서 판정식 $D(a, b)$는 언제나 $0$보다 작으므로, 점 $(a, b)$는 반드시 안장점(Saddle Point)이 된다.
최소자승법(Least Squares Method)
1. 다변수미적분학에서의 핵심적 의미 (편미분의 응용)
주어진 데이터 점들 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$에 가장 잘 맞는 직선 $y = mx + b$를 찾으려면, 각 점에서 직선까지의 오차(Error)의 제곱합을 최소화해야 한다.
오차의 제곱합을 함수 $S(m, b)$로 정의하면 다음과 같다.
이때 데이터 $(x_k, y_k)$는 이미 주어진 상수이고, 우리가 찾아야 하는 미지수는 기울기 $m$과 $y$절편 $b$이다. 즉, $S(m, b)$는 미지수가 2개인 이변수함수가 된다.
이 이변수함수 $S(m, b)$가 최솟값을 갖는 점을 찾기 위해 다변수미적분학의 1계 편도함수 조건(임계점 조건)을 적용한다.
2. 편미분을 이용한 회귀직선 공식 유도
오차 제곱합 $S(m, b)$를 각각 $m$과 $b$로 편미분하여 $0$이 되는 연립방정식을 세운다.
[1] $m$에 대한 편미분 ($S_m = 0$)
[2] $b$에 대한 편미분 ($S_b = 0$)
이 두 식(식 1, 식 2)을 정규 방정식(Normal Equations)이라고 하며, 이를 $m$과 $b$에 대해 연립하여 풀면 최소자승법 공식이 얻어진다.
3. 응용 및 확장성
- 이변수함수 극값 문제의 가장 완벽한 실전 예시: 단순한 계산 문제나 상상 속의 곡면이 아니라, 현실의 데이터 분석에 편미분과 임계점 개념이 어떻게 쓰이는지 보여주는 최고의 예이다.
- 선형대수학과 인공지능(AI)의 교징점: 최소자승법은 다변수미적분(편미분)으로 도출되지만, 변수가 많아지면 선형대수학의 행렬 연산($A^T A x = A^T b$) 및 머신러닝의 경사하강법(Gradient Descent)으로 확장된다. 즉, 현대 데이터 과학과 AI(선형 회귀)를 이해하는 첫 단추 역할을 한다.
[문제 11] 최소자승법(Least Squares Line) 회귀직선
주어진 세 데이터 점 $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 4)$ 에 대해 최소자승법을 이용하여 최적의 회귀직선 $y = mx + b$ 의 방정식을 구하고, 이를 이용해 $x = 3$ 일 때의 $y$ 값을 예측하여라.
[풀이]
필요한 합계 데이터 ($n = 3$):
$\sum x_k = 0 + 1 + 2 = 3$
$\sum y_k = 1 + 3 + 4 = 8$
$\sum x_k^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 = 0 + 1 + 4 = 5$
$\sum x_k y_k = (0)(1) + (1)(3) + (2)(4) = 0 + 3 + 8 = 11$
기울기 $m$ 공식 적용:
절편 $b$ 공식 적용:
결과 정리 및 예측:
최소자승 회귀직선: $y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{6}$
$x = 3$ 일 때의 예측값: $y = \frac{3}{2}(3) + \frac{7}{6} = \frac{9}{2} + \frac{7}{6} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}$
[문제 12] 4차 다항함수의 모든 임계점
함수$f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1$ 의 모든 임계점을 구하고, 2계 편도함수 판정법을 통해 분류하여라.
[풀이]
1계 편도함수 구하기 및 임계점:
$$f_x = 4x^3 - 4y = 0 \implies y = x^3$$$$f_y = 4y^3 - 4x = 0 \implies x = y^3$$
$y = x^3$을 대입하면:실수 해는 $x = 0, 1, -1$ 이다.
$x = 0 \implies y = 0 \implies (0, 0)$
$x = 1 \implies y = 1 \implies (1, 1)$
$x = -1 \implies y = -1 \implies (-1, -1)$
2계 편도함수 및 판정식 $D$ 구하기:$$f_{xx} = 12x^2, \quad f_{yy} = 12y^2, \quad f_{xy} = -4$$
$$D(x, y) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (12x^2)(12y^2) - (-4)^2 = 144x^2 y^2 - 16$$
각 임계점 분류:
점 $(0, 0)$: $D = -16 < 0 \implies$ 안장점 (Saddle Point)
점 $(1, 1)$: $D = 144 - 16 = 128 > 0$ 이고 $f_{xx}(1, 1) = 12 > 0 \implies$ 극소값
점 $(-1, -1)$: $D = 144 - 16 = 128 > 0$ 이고 $f_{xx}(-1, -1) = 12 > 0 \implies$ 극소값
[문제 13] 영역 $-2 \le x \le 2, -2 \le y \le 2$ 에서 정의된 함수 $f(x, y) = x^3 + y^2 - 3x - 4y + 5$ 의 모든 임계점을 구하고 극값 및 안장점을 분류하여라.
[풀이]
1계 편도함수를 이용한 임계점:
$$f_x = 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ 또는 } x = -1$$$$f_y = 2y - 4 = 0 \implies y = 2$$
임계점은 $(1, 2)$ 와 $(-1, 2)$ 두 개이다.
2계 편도함수:$$f_{xx} = 6x, \quad f_{yy} = 2, \quad f_{xy} = 0$$ $$D(x, y) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (6x)(2) - 0 = 12x$$
임계점 분류:
점 $(1, 2)$: $D = 12(1) = 12 > 0$ 이고 $f_{xx} = 6 > 0 \implies$ 극소값
점 $(-1, 2)$: $D = 12(-1) = -12 < 0 \implies$ 안장점 (Saddle Point)
[문제 14] 조각마다 정의된 함수(Piecewise Function)의 원점에서의 미분 가능성 및 극값
다음과 같이 정의된 함수 $f(x, y)$에 대하여 원점 $(0, 0)$에서의 임계점 및 극값 여부를 조사하여라.$$f(x, y) = \begin{cases} (x^2 + y^2) \ln(x^2 + y^2), & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$
[풀이]
극좌표 변환을 통한 연속성 및 극한 분석:
$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ 라 두면 $x^2 + y^2 = r^2$ 이다.
로피탈 정리를 적용하면:
따라서 $f(x, y)$는 원점에서 연속이다.
원점 주변에서의 함숫값 부호 분석:
원점 근방 아주 작은 영역($0 < \sqrt{x^2+y^2} < 1$)을 생각하면:$$x^2 + y^2 < 1 \implies \ln(x^2 + y^2) < 0$$
양수 $x^2 + y^2$ 과 음수 $\ln(x^2 + y^2)$ 의 곱이므로, 원점 주변의 모든 점 $(x, y) \neq (0, 0)$에 대해 $f(x, y) < 0$ 이다.
결론:
$f(0, 0) = 0$ 이고 주변 모든 점의 함숫값이 $0$보다 작으므로, 원점 $(0, 0)$은 절대적 극대점(Local Maximum Point)이다.
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