3-8. 라그랑주 승수법(Lagrange Multipliers)

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★본문의 더보기는 증명과 풀이입니다.

 

라그랑주 승수법(Lagrange Multipliers)

제약조건(Constraint)이 있는 상태에서 다변수 함수 $f(x, y, z)$의 극값을 구하는 유용한 도구인 라그랑주 승수법(Lagrange Multipliers)에 대해 알아본다.

 

1. 직교 그래디언트 정리 (The Orthogonal Gradient Theorem)

라그랑주 승수법의 수학적 당위성은 다음 정리에서 출발한다.

 

[정리 1] 직교 그래디언트 정리

미분가능한 함수 $f(x, y, z)$가 매끄러운 곡선 $C: \mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}$ 위에서 정의되어 있다고 하자.

점 $P_0$가 곡선 $C$ 위에서 $f$의 상대적 극댓값 또는 극솟값을 갖는 점이라면, $P_0$에서 $f$의 그래디언트 $\nabla f$는 곡선 $C$의 접선벡터에 직교(Orthogonal)한다.

[증명]

곡선 $C$를 따라 변화하는 $f$의 값은 합성함수 $f(x(t), y(t), z(t))$로 표현할 수 있다.

연쇄 법칙(Chain Rule)에 의해 $t$에 대한 미분은 다음과 같다.

$$\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt} = \nabla f \cdot \mathbf{r}'(t)$$

점 $P_0$에서 $f$가 극값을 가질 때, 페르마의 정리에 의해 $t$에 대한 미분값은 $0$이 되어야 한다.

$$\frac{df}{dt} = 0 \implies \nabla f \cdot \mathbf{r}'(t) = 0$$

따라서 $\nabla f$는 곡선의 접선벡터 $\mathbf{r}'(t)$와 직교한다. 

← 페르마의 정리(Fermat's Theorem), 또는 페르마의 극값 정리(Fermat's Stationary Point Theorem)는 "미분가능한 함수가 어떤 점에서 극값(극댓값 또는 극솟값)을 가진다면, 그 점에서의 미분계수(접선의 기울기)는 반드시 $0$이다"라는 정리이다.

2. 라그랑주 승수법의 원리 (Method of Lagrange Multipliers)

제약조건 $g(x, y, z) = 0$이 주어졌을 때, 등위수면(Level surface) $g = 0$ 위에서 함수 $f(x, y, z)$가 극값을 갖는 점 $P_0$를 찾는 상황을 생각해 보자.

1. 등위수면 $g = 0$ 위의 모든 매끄러운 곡선 $C$에 대해, $\nabla f$는 $C$의 접선벡터와 직교한다.
2. 동시에, 등위수면의 정의에 의해 $\nabla g$ 역시 등위수면 $g = 0$의 법선벡터로서 접선벡터와 직교한다.
3. $\nabla g \neq \mathbf{0}$이라고 가정하면, 점 $P_0$에서 $\nabla f$와 $\nabla g$는 서로 평행해야 한다.

따라서 적당한 스칼라 $\lambda$ (라그랑주 승수)가 존재하여 다음 조건을 만족한다.

$$\nabla f = \lambda \nabla g, \quad g(x, y, z) = 0$$

 

[예제 1] 타원 $x^2 + 3y^2 = 12$ 위에서 함수 $f(x, y) = xy$의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

[풀이]

제약조건을 $g(x, y) = x^2 + 3y^2 - 12 = 0$이라 둔다.

각 함수의 그래디언트를 구하면 다음과 같다.

$$\nabla f = \langle y, x \rangle$$

$$\nabla g = \langle 2x, 6y \rangle$$

라그랑주 승수 방정식 $\nabla f = \lambda \nabla g$에 대입하면:

1. $y = 2\lambda x$
2. $x = 6\lambda y$

1번 식을 2번 식의 $x$에 대입하면:

$$x = 6\lambda (2\lambda x) = 12\lambda^2 x \implies x(1 - 12\lambda^2) = 0$$

• Case 1: $x = 0$ 이면 $y = 0$이지만, $(0,0)$은 제약조건 $x^2 + 3y^2 = 12$를 만족하지 않으므로 모순이다.
• Case 2: $12\lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm \frac{1}{2\sqrt{3}}$

$y = 2\lambda x$ 관계식을 이용하면 $x^2 = 3y^2$을 얻는다.

이 식을 제약조건 $x^2 + 3y^2 = 12$에 대입하면:

$$3y^2 + 3y^2 = 12 \implies 6y^2 = 12 \implies y = \pm\sqrt{2}$$

이에 대응하는 $x$는 $x = \pm\sqrt{6}$이다.

따라서 후보점은 $(\sqrt{6}, \sqrt{2})$, $(\sqrt{6}, -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{6}, \sqrt{2})$, $(-\sqrt{6}, -\sqrt{2})$ 이다.

• 최댓값: $f(\sqrt{6}, \sqrt{2}) = f(-\sqrt{6}, -\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$
• 최솟값: $f(\sqrt{6}, -\sqrt{2}) = f(-\sqrt{6}, \sqrt{2}) = -2\sqrt{3}$

3. 제약조건이 2개인 경우 (Lagrange Multipliers with Two Constraints)

함수 $f(x, y, z)$의 극값을 두 제약조건 $g_1(x, y, z) = 0$, $g_2(x, y, z) = 0$ 아래에서 찾아야 할 경우이다. 두 수면 $g_1 = 0$과 $g_2 = 0$이 만나는 교선 $C$ 위에서 극값이 형성된다.

이 조건에서 $\nabla f$는 교선 $C$에 직교하며, $\nabla g_1$과 $\nabla g_2$가 이루는 평면 위에 존재해야 한다.

따라서 두 승수 $\lambda, \mu$에 대하여 다음 연립방정식을 만족해야 한다.

$$\nabla f = \lambda \nabla g_1 + \mu \nabla g_2, \quad g_1(x, y, z) = 0, \quad g_2(x, y, z) = 0$$

←점 $(x, y, z)$가 교선 $C$를 따라 움직일 때, 그 점 위치에서의 함솟값 $f(x, y, z)$도 높아지거나 낮아진다.

이 교선 $C$라는 1차원 길을 따라 이동하면서 $f$의 값이 가장 높아지는 지점(극대)과 가장 낮아지는 지점(극소)이 존재하게 되며, 이것이 바로 제약조건 아래에서의 극값이 된다.

 

[예제 2] 평면 $x + y + 2z = 2$와 원기둥 $x^2 + y^2 = 1$이 만나는 교선(타원) 상에서 원점으로부터의 거리가 가장 가까운 점과 가장 먼 점을 구하여라.

[풀이]

원점까지의 거리의 제곱을 최소화/최대화하는 문제이므로 $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$으로 둔다.

두 제약조건은 다음과 같다.

$$g_1(x, y, z) = x^2 + y^2 - 1 = 0$$

$$g_2(x, y, z) = x + y + 2z - 2 = 0$$

그래디언트 방정식을 적용한다.

$$\nabla f = \langle 2x, 2y, 2z \rangle$$

$$\nabla g_1 = \langle 2x, 2y, 0 \rangle, \quad \nabla g_2 = \langle 1, 1, 2 \rangle$$

$$\nabla f = \lambda \nabla g_1 + \mu \nabla g_2$$

성분별로 정리하면:

1. $2x = 2\lambda x + \mu \implies 2x(1 - \lambda) = \mu$
2. $2y = 2\lambda y + \mu \implies 2y(1 - \lambda) = \mu$
3. $2z = 2\mu \implies z = \mu$

1, 2번 식에서 $2x(1 - \lambda) = 2y(1 - \lambda)$ 이므로:

Case A: $\lambda = 1$

이 경우 $\mu = 0$이 되고 $z = 0$이다.

제약조건 $g_2$에 대입: $x + y + 0 = 2 \implies x + y = 2$

제약조건 $g_1$에 대입: $x^2 + y^2 = 1$

$x + y = 2$와 $x^2 + y^2 = 1$을 동시에 만족하는 실수해 $(x, y)$는 존재하지 않는다.

Case B: $x = y$

$g_1(x, y, z) = x^2 + x^2 - 1 = 0 \implies 2x^2 = 1 \implies x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$g_2(x, y, z)$에 $x = y$ 대입:

$$2x + 2z = 2 \implies z = 1 - x$$

점 $P_1$: $x = y = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies z = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$$P_1 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$f(P_1) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \left(1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{2} - \sqrt{2} \approx 1.086$$

점 $P_2$: $x = y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies z = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$P_2 = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

$$f(P_2) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \left(1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{2} + \sqrt{2} \approx 3.914$$

결론

• 가장 가까운 점: $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ (거리: $\sqrt{\frac{5}{2} - \sqrt{2}}$)
• 가장 먼 점: $P_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ (거리: $\sqrt{\frac{5}{2} + \sqrt{2}}$)

4. 라그랑주 승수 $\lambda$의 의미: 민감도 분석과 그림자 가격 (Shadow Price)

라그랑주 승수법을 사용할 때 구하게 되는 스칼라 값 $\lambda$는 단순한 계산용 보조 변수가 아니다. $\lambda$는 "제약조건이 변할 때 목적함수의 최적값이 얼마나 빠르게 변화하는가"를 나타내는 민감도(Sensitivity)의 의미를 갖는다.

 

[정리] $\lambda$의 해석

제약조건 $g(x, y, z) = c$ 아래에서 함수 $f(x, y, z)$의 최댓값(또는 최솟값)을 $M(c)$라 하자. 제약 상수 $c$가 아주 미소하게 변할 때, 최적값 $M(c)$의 변화율은 라그랑주 승수 $\lambda$와 일치한다.

$$\frac{d M}{d c} = \lambda$$

경제학적 의미 (Shadow Price):

경제학에서 $f$가 이윤(Profit)이고 $g$가 예산/자원 제약일 때, $\lambda$는 자원 한 단위를 추가로 확보할 때 늘어나는 이윤의 크기(한계 가치)를 의미하며, 이를 그림자 가격(Shadow Price)이라고 부른다.

[증명] 

제약 상수 $c$에 따라 목적함수 $f$의 최적값(최댓값 또는 최솟값)이 어떻게 변하는지 분석하기 위해, 최적점이 $c$에 대한 함수로 표현된다고 가정해 본다.

• 제약조건: $g(x, y, z) = c$
• 제약 상수 $c$가 변함에 따라 최적을 이루는 점 $(x, y, z)$의 위치도 변하게 된다. 이를 $c$에 대한 매개변수 함수로 나타낸다:
  $$x = x(c), \quad y = y(c), \quad z = z(c)$$
• 이 최적점에서 계산한 목적함수 $f$의 최적값을 $M(c)$라 한다:$$M(c) = f(x(c), y(c), z(c))$$

연쇄 법칙(Chain Rule)을 통한 $M(c)$의 미분

최적값 $M(c)$를 제약 상수 $c$에 대해 미분하면, 다변수 합성함수의 연쇄 법칙에 따라 다음과 같이 정리된다.

$$\frac{d M}{d c} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dc} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dc} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dc}$$

이를 그래디언트와 내적(Dot product) 기호를 사용하여 표현하면 다음과 같다.

$$\frac{d M}{d c} = \nabla f \cdot \left\langle \frac{dx}{dc}, \frac{dy}{dc}, \frac{dz}{dc} \right\rangle \quad \cdots \text{ (식 1)}$$

라그랑주 승수 조건과 제약조건의 이용

최적점 $(x(c), y(c), z(c))$는 라그랑주 승수 방정식 $\nabla f = \lambda \nabla g$ 를 만족해야 한다.

이를 (식 1)의 $\nabla f$ 대신 대입한다.

$$\frac{d M}{d c} = (\lambda \nabla g) \cdot \left\langle \frac{dx}{dc}, \frac{dy}{dc}, \frac{dz}{dc} \right\rangle = \lambda \left[ \nabla g \cdot \left\langle \frac{dx}{dc}, \frac{dy}{dc}, \frac{dz}{dc} \right\rangle \right] \quad \cdots \text{ (식 2)}$$

한편, 점 $(x(c), y(c), z(c))$는 항상 제약조건 $g(x(c), y(c), z(c)) = c$ 를 항상 만족해야 하므로, 이 양변을 $c$에 대해 미분해 본다.

$$\frac{d}{dc} [g(x(c), y(c), z(c))] = \frac{d}{dc}[c]$$

연쇄 법칙을 적용하면:

$$\frac{\partial g}{\partial x}\frac{dx}{dc} + \frac{\partial g}{\partial y}\frac{dy}{dc} + \frac{\partial g}{\partial z}\frac{dz}{dc} = 1$$

$$\implies \nabla g \cdot \left\langle \frac{dx}{dc}, \frac{dy}{dc}, \frac{dz}{dc} \right\rangle = 1 \quad \cdots \text{ (식 3)}$$

결론

(식 3)의 결과인 $\nabla g \cdot \left\langle \frac{dx}{dc}, \frac{dy}{dc}, \frac{dz}{dc} \right\rangle = 1$ 을 (식 2)에 대입하면 다음과 같다.

$$\frac{d M}{d c} = \lambda \cdot (1) = \lambda$$

$$\therefore \frac{d M}{d c} = \lambda \quad \blacksquare$$

증명의 직관적 정리

이 증명은 경제학에서 매우 유명한 포위 정리(Envelope Theorem)의 가장 기초적인 형태이다.

• 제약 상수가 $c$에서 $c + \Delta c$로 아주 미소하게 늘어날 때, 최적점 역시 약간 이동하게 된다.
• 하지만 최적점 근방에서는 라그랑주 승수 조건에 의해 $\nabla f$가 $\nabla g$의 정수배($\lambda$)만큼 평행하므로, 점의 이동에 따른 $f$의 변화율은 정확히 제약조건 수면이 확장되는 비율($1$)에 라그랑주 승수($\lambda$)를 곱한 값이 된다.
• 따라서 라그랑주 승수 $\lambda$는 제약 상수 $c$가 $1$단위 증가할 때 최적값 $M(c)$가 변화하는 한계 변화율(Sensitivity)이다.

[예제 3] ($\lambda$의 해석)

어떤 기업의 생산 함수가 $f(x, y) = 10x^{0.6}y^{0.4}$ 이고, 투입 비용 제약이 $2x + 5y = 100$ 일 때, 이윤을 최대화하는 생산량을 구하고 이때의 $\lambda$의 의미를 설명하여라.

[풀이]  

제약조건 $g(x, y) = 2x + 5y = 100$ 에 대해 라그랑주 승수 방정식을 적용한다.

$$\nabla f = \left\langle 6x^{-0.4}y^{0.4}, \; 4x^{0.6}y^{-0.6} \right\rangle, \quad \nabla g = \langle 2, 5 \rangle$$

1. $6x^{-0.4}y^{0.4} = 2\lambda \implies 3\left(\frac{y}{x}\right)^{0.4} = \lambda$
2. $4x^{0.6}y^{-0.6} = 5\lambda \implies \frac{4}{5}\left(\frac{x}{y}\right)^{0.6} = \lambda$

두 식을 같다고 놓으면:

$$3\left(\frac{y}{x}\right)^{0.4} = \frac{4}{5}\left(\frac{x}{y}\right)^{0.6} \implies 3 \cdot \frac{y}{x} = \frac{4}{5} \implies 15y = 4x \implies x = 3.75y$$

이 관계를 제약조건 $2(3.75y) + 5y = 100$ 에 대입한다.

$$7.5y + 5y = 100 \implies 12.5y = 100 \implies y = 8, \quad x = 30$$

이때 $\lambda$의 값을 구해보면:

$$\lambda = 3 \cdot \left(\frac{8}{30}\right)^{0.4} = 3 \cdot (0.2667)^{0.4} \approx 1.77$$

해석: 예산 제약(100)이 1단위 증가하여 101이 되면, 최대 생산량 $f(x,y)$는 약 $1.77$만큼 증가한다는 것을 뜻한다.

5. 유계 닫힌 영역(Closed and Bounded Region)에서의 최적화

다변수 미적분학 교재에서 매우 중요하게 다루는 응용 문제 중 하나는 영역의 내부와 경계선(Boundary)을 모두 고려하여 절대 최댓값과 절대 최솟값을 찾는 문제이다.

📌 풀이 단계 (3단계 법칙)

1. 영역 내부 (Interior): 제약조건 없이 $\nabla f = \mathbf{0}$ 인 내부의 임계점(Critical points)을 구한다.
2. 경계선 (Boundary): 경계선 방정식 $g(x, y) = 0$ 위에 존재하는 극값 후보를 라그랑주 승수법으로 구한다.
3. 값 비교: 내부 임계점들과 경계선상의 후보점들에서 $f$의 값을 모두 계산하여 가장 큰 값이 절대 최댓값, 가장 작은 값이 절대 최솟값이 된다.

[예제 4] (유계 닫힌 영역 문제)

원판 영역 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \le 4\}$ 위에서 함수 $f(x, y) = x^2 - 2x + 2y^2$ 의 절대 최댓값과 절대 최솟값을 구하여라.

[풀이]

영역 내부 ($x^2 + y^2 < 4$)

$$\nabla f = \langle 2x - 2, \; 4y \rangle = \langle 0, 0 \rangle \implies x = 1, \; y = 0$$

점 $(1, 0)$은 $1^2 + 0^2 = 1 < 4$이므로 영역 내부의 임계점이다.

$$f(1, 0) = 1^2 - 2(1) + 0 = -1$$

경계선 ($x^2 + y^2 = 4$)

제약조건 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 4 = 0$에 대해 라그랑주 승수법을 적용한다.

$$\nabla f = \langle 2x - 2, 4y \rangle, \quad \nabla g = \langle 2x, 2y \rangle$$

• $2x - 2 = 2\lambda x \implies x(1 - \lambda) = 1$
• $4y = 2\lambda y \implies y(2 - \lambda) = 0$

두 번째 식 $y(2 - \lambda) = 0$에서 두 가지 경우로 나뉜다:

Case 1: $y = 0$

후보점: $(2, 0), \; (-2, 0)$

제약조건 $x^2 + 0 = 4 \implies x = \pm 2$

Case 2: $\lambda = 2$

첫 번째 식에 대입: $x(1 - 2) = 1 \implies -x = 1 \implies x = -1$

제약조건 대입: $(-1)^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 3 \implies y = \pm\sqrt{3}$

후보점: $(-1, \sqrt{3}), \; (-1, -\sqrt{3})$

함솟값 비교

• $f(1, 0) = -1$ (내부)
• $f(2, 0) = 2^2 - 2(2) + 0 = 0$ (경계)
• $f(-2, 0) = (-2)^2 - 2(-2) + 0 = 8$ (경계)
• $f(-1, \sqrt{3}) = (-1)^2 - 2(-1) + 2(\sqrt{3})^2 = 1 + 2 + 6 = 9$ (경계)
• $f(-1, -\sqrt{3}) = (-1)^2 - 2(-1) + 2(-\sqrt{3})^2 = 1 + 2 + 6 = 9$ (경계)

결론:

• 절대 최댓값: $9$ (점 $(-1, \sqrt{3})$ 및 $(-1, -\sqrt{3})$ 에서)
• 절대 최솟값: $-1$ (점 $(1, 0)$ 에서)

6. 라그랑주 승수법 사용 시 주의점과 한계점

라그랑주 승수법은 매우 강력하지만, 사용할 때 다음과 같은 조건과 한계점을 반드시 숙지해야 한다.

(1) 정규성 조건 ($\nabla g \neq \mathbf{0}$):

라그랑주 승수법은 제약수면 상에서 $\nabla g \neq \mathbf{0}$ 일 때만 보장된다. 만약 $\nabla g = \mathbf{0}$ 인 점(특이점, Singular point)이 경계에 있다면, 라그랑주 승수법 방정식으로 찾아내지 못할 수 있으므로 해당 점을 별도로 조사해야 한다.

(2) 2계 도함수 검정법(Second Derivative Test) 적용 불가:

라그랑주 승수법으로 구한 점 $(\hat{x}, \hat{y}, \hat{\lambda})$은 단순한 극값의 후보(임계점)일 뿐이다. 그 자체로 극대인지, 극소인지, 아니면 변곡점(안장점)인지 판정해 주지 않는다.

따라서 실무/학술적으로는 구해진 여러 후보점들의 함솟값을 직접 비교하거나, 코시-슈바르츠 부등식, 또는 헤시안 행렬(Hessian Matrix) 기반의 구형 라그랑주 판정법(Bordered Hessian)을 사용해야 한다.

(3) 최대/최솟값의 존재성 (최대-최소 정리):

제약 영역이 유계 닫힌 집합(Compact set)이 아닌 경우(예: 쌍곡선 $xy = 1$ 등 unbounded 영역), 라그랑주 승수법으로 구한 점이 실제 최댓값이나 최솟값이 아닐 수 있다(극값 자체가 존재하지 않을 수 있음).

 

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