5-1. 선적분(Line Integrals)의 정의와 계산 방법 13문제와 풀이

[본문글] 5-1. 선적분(Line Integrals)의 정의와 계산 방법

 

[문제 1]점 $(1, 0, 0)$에서 점 $(0, 2, 0)$으로 향하는 선분 경로 $C$가 다음과 같이 매개변수화되어 있다.

$$x = 1 - t, \quad y = 2t, \quad z = 0 \quad (0 \le t \le 1)$$

이때 선적분 $\int_C (2x + y) \, ds$ 의 값을 구하여라.

[풀이]

속력 $\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{}$ 계산:

$$\frac{dx}{dt} = -1, \quad \frac{dy}{dt} = 2, \quad \frac{dz}{dt} = 0$$

$$\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5}$$

피적분 함수 대입 및 정적분 수행:

$$2x + y = 2(1 - t) + 2t = 2$$

$$\int_C (2x + y) \, ds = \int_0^1 2 \cdot \sqrt{5} \, dt = 2\sqrt{5} [t]_0^1 = 2\sqrt{5}$$

[문제 2]곡선 $\mathbf{r}(t) = t \mathbf{i} + 3t \mathbf{j} + (1 - 2t) \mathbf{k} \quad (0 \le t \le 1)$ 를 따라 다음 선적분의 값을 구하여라.$$\int_C (x + y + z) \, ds$$

[풀이]

속력 $\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{}$ 계산:

$$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$$

$$\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{} = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$$

피적분 함수에 매개변수 대입:

$$x + y + z = t + 3t + (1 - 2t) = 2t + 1$$

적분 계산:

$$\int_C (x + y + z) \, ds = \int_0^1 (2t + 1) \sqrt{14} \, dt = \sqrt{14} \left[ t^2 + t \right]_0^1 = 2\sqrt{14}$$

[문제 3]곡선 $\mathbf{r}(t) = (3\cos t)\mathbf{i} + (3\sin t)\mathbf{j} + 2t\mathbf{k} \quad (0 \le t \le 2\pi)$ 를 따라 다음 선적분을 계산하여라.$$\int_C \sqrt{x^2 + y^2 + z} \, ds$$

[풀이]

속력 $\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{}$ 계산:

$$\mathbf{v}(t) = -3\sin t \, \mathbf{i} + 3\cos t \, \mathbf{j} + 2 \, \mathbf{k}$$

$$\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{} = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2 + 2^2} = \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t) + 4} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$

피적분 함수 대입:$$x^2 + y^2 = (3\cos t)^2 + (3\sin t)^2 = 9$$

$$\sqrt{x^2 + y^2 + z} = \sqrt{9 + 2t}$$

적분 계산:$$\int_C \sqrt{x^2 + y^2 + z} \, ds = \int_0^{2\pi} \sqrt{9 + 2t} \cdot \sqrt{13} \, dt$$

$u = 9 + 2t$ 로 치환하면 $du = 2 dt$ 이므로,

$$= \sqrt{13} \int_0^{2\pi} (9 + 2t)^{1/2} \, dt = \sqrt{13} \left[ \frac{1}{3} (9 + 2t)^{3/2} \right]_0^{2\pi}$$

$$= \frac{\sqrt{13}}{3} \left( (9 + 4\pi)^{3/2} - 27 \right)$$

[문제 4]점 $P(0, 1, 2)$에서 점 $Q(2, 3, 0)$으로 향하는 선분 $C$ 위에서 함수 $f(x, y, z) = x + y - z$ 의 선적분을 구하야라.

[풀이]

선분의 매개변수 방정식 구하기:

점 $P(0, 1, 2)$에서 $Q(2, 3, 0)$로 가는 벡터는 $\mathbf{d} = \langle 2 - 0, 3 - 1, 0 - 2 \rangle = \langle 2, 2, -2 \rangle$ 이다.

$$\mathbf{r}(t) = (0 + 2t)\mathbf{i} + (1 + 2t)\mathbf{j} + (2 - 2t)\mathbf{k} \quad (0 \le t \le 1)$$

$$x = 2t, \quad y = 1 + 2t, \quad z = 2 - 2t$$

속력 $\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{}$ 계산:

$$\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

피적분 함수 대입 및 계산:$$f(x, y, z) = 2t + (1 + 2t) - (2 - 2t) = 6t - 1$$

$$\int_C f \, ds = \int_0^1 (6t - 1) \cdot 2\sqrt{3} \, dt = 2\sqrt{3} \left[ 3t^2 - t \right]_0^1 = 2\sqrt{3}(3 - 1) = 4\sqrt{3}$$

[문제 5]점 $(0, 0, 0)$에서 시작하여 $(1, 2, 0)$을 거쳐 $(1, 2, 3)$에 이르는 경로 $C = C_1 \cup C_2$가 있다.

$C_1$: $(0,0,0)$에서 $(1,2,0)$까지의 선분 $\mathbf{r}_1(t) = t\mathbf{i} + 2t\mathbf{j} \quad (0 \le t \le 1)$

$C_2$: $(1,2,0)$에서 $(1,2,3)$까지의 선분 $\mathbf{r}_2(t) = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3t\mathbf{k} \quad (0 \le t \le 1)$

함수 $f(x, y, z) = x + y + z$ 에 대하여 선적분 $\int_C f \, ds$ 의 값을 구하여라.

[풀이]

경로의 덧셈성을 이용하여 $C_1$과 $C_2$에서의 적분을 각각 구한 후 더한다.

경로 $C_1$에서의 적분:

$\mathbf{r}_1(t) = \langle t, 2t, 0 \rangle \implies \vert{}\mathbf{v}_1(t)\vert{} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0} = \sqrt{5}$

$f(\mathbf{r}_1(t)) = t + 2t + 0 = 3t$

$$\int_{C_1} f \, ds = \int_0^1 3t \sqrt{5} \, dt = \sqrt{5} \left[ \frac{3}{2}t^2 \right]_0^1 = \frac{3\sqrt{5}}{2}$$

경로 $C_2$에서의 적분:

$\mathbf{r}_2(t) = \langle 1, 2, 3t \rangle \implies \vert{}\mathbf{v}_2(t)\vert{} = \sqrt{0 + 0 + 3^2} = 3$

$f(\mathbf{r}_2(t)) = 1 + 2 + 3t = 3 + 3t$

$$\int_{C_2} f \, ds = \int_0^1 (3 + 3t) \cdot 3 \, dt = 9 \int_0^1 (1 + t) \, dt = 9 \left[ t + \frac{1}{2}t^2 \right]_0^1 = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2}$$

전체 선적분 계산:

$$\int_C f \, ds = \int_{C_1} f \, ds + \int_{C_2} f \, ds = \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{27}{2} = \frac{3\sqrt{5} + 27}{2}$$

[문제 6]$(0,0)$에서 $(2,4)$까지 연결하는 포물선 경로 $C: y = x^2$ 위에서 선적분 $\int_C (x + 2y) \, ds$ 의 값을 구하여라.

[풀이] 매개변수화 및 $ds$ 계산:

$x = t, \, y = t^2 \quad (0 \le t \le 2)$ 로 매개변수화한다.

$$\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t$$

$$ds = \sqrt{1^2 + (2t)^2} \, dt = \sqrt{1 + 4t^2} \, dt$$

적분식 구성 및 두 적분항으로 분리:

$$\int_C (x + 2y) \, ds = \int_0^2 (t + 2t^2) \sqrt{1 + 4t^2} \, dt$$

$$= \underbrace{\int_0^2 t\sqrt{1 + 4t^2} \, dt}_{I_1} + \underbrace{2\int_0^2 t^2\sqrt{1 + 4t^2} \, dt}_{I_2}$$

첫 번째 적분 $I_1$ 계산:

$$I_1 = \int_0^2 t\sqrt{1 + 4t^2} \, dt$$

$u = 1 + 4t^2$ 로 치환하면 $du = 8t \, dt \implies t \, dt = \frac{1}{8} du$ 이다.

적분 구간은 $t = 0 \to u = 1$, $t = 2 \to u = 17$ 로 바뀐다.

$$I_1 = \int_1^{17} \frac{1}{8} u^{1/2} \, du = \frac{1}{8} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{17} = \frac{1}{12} \left( 17^{3/2} - 1 \right) = \frac{17\sqrt{17} - 1}{12}$$

두 번째 적분 $I_2$ 계산:

$$I_2 = 2\int_0^2 t^2\sqrt{1 + 4t^2} \, dt$$

삼각치환법을 적용하기 위해 $2t = \tan \theta$ 로 둔다.

$t = \frac{1}{2}\tan \theta \implies dt = \frac{1}{2}\sec^2 \theta \, d\theta$ 이며, $\sqrt{1 + 4t^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sec \theta$ 이다.

적분 구간: $t = 0 \implies \tan \theta = 0 \implies \theta = 0$

$t = 2 \implies \tan \theta = 4 \implies \theta = \beta \quad (\tan \beta = 4, \, \sec \beta = \sqrt{1 + 4^2} = \sqrt{17})$

$$I_2 = 2 \int_0^\beta \left( \frac{1}{2}\tan \theta \right)^2 (\sec \theta) \left( \frac{1}{2}\sec^2 \theta \, d\theta \right)$$

$$= 2 \cdot \frac{1}{8} \int_0^\beta \tan^2 \theta \sec^3 \theta \, d\theta = \frac{1}{4} \int_0^\beta (\sec^2 \theta - 1) \sec^3 \theta \, d\theta$$

$$= \frac{1}{4} \int_0^\beta (\sec^5 \theta - \sec^3 \theta) \, d\theta$$

표준 삼각함수 적분 공식 적용:

$$\int \sec^3 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta + \frac{1}{2} \ln \vert{}\sec \theta + \tan \theta\vert{}$$

$$\int \sec^5 \theta \, d\theta = \frac{1}{4} \sec^3 \theta \tan \theta + \frac{3}{4} \int \sec^3 \theta \, d\theta$$

따라서 $\int (\sec^5 \theta - \sec^3 \theta) \, d\theta = \frac{1}{4} \sec^3 \theta \tan \theta - \frac{1}{4} \int \sec^3 \theta \, d\theta$ 이다.

$$= \frac{1}{4} \sec^3 \theta \tan \theta - \frac{1}{8} \sec \theta \tan \theta - \frac{1}{8} \ln \vert{}\sec \theta + \tan \theta\vert{}$$

이를 $I_2$ 식에 대입하면:

$$I_2 = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{4} \sec^3 \theta \tan \theta - \frac{1}{8} \sec \theta \tan \theta - \frac{1}{8} \ln \vert{}\sec \theta + \tan \theta\vert{} \right]_0^\beta$$

$$= \frac{1}{32} \left[ 2 \sec^3 \theta \tan \theta - \sec \theta \tan \theta - \ln \vert{}\sec \theta + \tan \theta\vert{} \right]_0^\beta$$

상한 $\theta = \beta$ ($\tan \beta = 4, \, \sec \beta = \sqrt{17}$)를 대입하고, 하한 $\theta = 0$ ($\tan 0 = 0, \, \sec 0 = 1$)을 대입하여 정돈한다:

• $2 \sec^3 \beta \tan \beta = 2 \cdot (\sqrt{17})^3 \cdot 4 = 8 \cdot 17\sqrt{17} = 136\sqrt{17}$
• $\sec \beta \tan \beta = 4\sqrt{17}$
• $\ln \vert{}\sec \beta + \tan \beta\vert{} = \ln (4 + \sqrt{17})$

$$I_2 = \frac{1}{32} \left( 136\sqrt{17} - 4\sqrt{17} - \ln (4 + \sqrt{17}) \right)$$

$$= \frac{132\sqrt{17} - \ln (4 + \sqrt{17})}{32} = \frac{33\sqrt{17}}{8} - \frac{1}{32} \ln (4 + \sqrt{17})$$

최종 결과 도출 ($I_1 + I_2$):

$$\int_C (x + 2y) \, ds = I_1 + I_2 = \left( \frac{17\sqrt{17} - 1}{12} \right) + \left( \frac{33\sqrt{17}}{8} - \frac{1}{32} \ln (4 + \sqrt{17}) \right)$$

$\sqrt{17}$ 항의 통분 및 정리:

$$\frac{17}{12} + \frac{33}{8} = \frac{34}{24} + \frac{99}{24} = \frac{133}{24}$$

최종값:

$$\int_C (x + 2y) \, ds = \frac{133\sqrt{17}}{24} - \frac{1}{12} - \frac{1}{32} \ln (4 + \sqrt{17})$$

[문제 7] 휘어진 울타리(벽면)의 면적

$xy$ 평면상의 곡선 $C: y = 2x^{3/2} \quad (0 \le x \le 1)$ 바로 위에 서 있고, 높이가 $f(x, y) = 1 + y$ 로 주어지는 울타리 한쪽 면의 넓이를 구하여라.

[풀이]

매개변수화 및 $ds$ 계산:

$x = t, \, y = 2t^{3/2} \quad (0 \le t \le 1)$ 로 둔다.

$$\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^{1/2}$$

$$ds = \sqrt{1^2 + (3t^{1/2})^2} \, dt = \sqrt{1 + 9t} \, dt$$

면적 선적분 계산:

$$\text{Area} = \int_C (1 + y) \, ds = \int_0^1 (1 + 2t^{3/2}) \sqrt{1 + 9t} \, dt$$

$$\int_0^1 \sqrt{1 + 9t} \, dt + 2\int_0^1 t^{3/2}\sqrt{1 + 9t} \, dt$$

$u = 1 + 9t$ ($du = 9 dt$) 치환을 통해 정적분을 계산한다.

$$\int_0^1 \sqrt{1 + 9t} \, dt = \left[ \frac{2}{27} (1 + 9t)^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{27} (10\sqrt{10} - 1)$$

 

[문제 8] 얇은 철사(Wire)의 총 질량

공간 곡선 $\mathbf{r}(t) = t \mathbf{i} + \frac{2\sqrt{2}}{3} t^{3/2} \mathbf{j} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{k} \quad (0 \le t \le 2)$ 에 놓여 있는 철사의 밀도가 $\delta(t) = 3t$ 일 때, 이 철사의 총 질량 $M$을 구하여라.

[풀이]

속력 $\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{}$ 계산:

$$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \mathbf{i} + \sqrt{2t} \mathbf{j} + t \mathbf{k}$$

$$\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2t})^2 + t^2} = \sqrt{1 + 2t + t^2} = \sqrt{(1 + t)^2} = 1 + t$$

질량 $M$ 선적분 계산:

$$M = \int_C \delta \, ds = \int_0^2 3t \cdot (1 + t) \, dt = 3 \int_0^2 (t + t^2) \, dt$$

$$= 3 \left[ \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{3}t^3 \right]_0^2 = 3 \left( 2 + \frac{8}{3} \right) = 6 + 8 = 14$$

 

[문제 9] 밀도가 일정한 곡선의 질량중심

밀도가 $\delta = 1$ 로 일정한 반원 곡선 $r(t) = 2\cos t \, \mathbf{i} + 2\sin t \, \mathbf{j} \quad (0 \le t \le \pi)$ 의 질량중심 좌표 $(\bar{x}, \bar{y})$를 구하여라.

[풀이]

속력 및 총 질량 $M$ 계산:

$$\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{} = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2} = 2$$

$$M = \int_0^\pi 1 \cdot 2 \, dt = 2\pi$$

1차 모멘트 계산:

대칭성에 의해 $y$축에 대해 좌우 대칭이므로 $\bar{x} = 0$ 이다.

$M_{xz}$ ($x$축에 대한 모멘트):

$$M_{xz} = \int_C y \delta \, ds = \int_0^\pi (2\sin t) \cdot 1 \cdot 2 \, dt = 4 \int_0^\pi \sin t \, dt = 4 [-\cos t]_0^\pi = 8$$

질량중심 좌표:

$$\bar{y} = \frac{M_{xz}}{M} = \frac{8}{2\pi} = \frac{4}{\pi}$$

따라서 질량중심은 $\left(0, \frac{4}{\pi}\right)$ 이다.

[문제 10] 회전축에 대한 관성모멘트

나선(Helix) 경로 $\mathbf{r}(t) = 2\cos t \, \mathbf{i} + 2\sin t \, \mathbf{j} + 4t \, \mathbf{k} \quad (0 \le t \le 2\pi)$ 에 놓여 있는 균일한 밀도 $\delta = 2$ 를 가진 스프링의 $z$축에 대한 관성모멘트 $I_z$를 구하여라.

[풀이]

$z$축으로부터의 거리 제곱 $r^2$ 및 속력 계산:

$z$축까지의 거리 제곱은 $r^2 = x^2 + y^2 = (2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4$ 이다.

속력:

$$\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{} = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

관성모멘트 $I_z$ 선적분 계산:

$$I_z = \int_C (x^2 + y^2) \delta \, ds$$

$$= \int_0^{2\pi} (4) \cdot 2 \cdot (2\sqrt{5}) \, dt = 16\sqrt{5} \int_0^{2\pi} dt = 32\sqrt{5}\pi$$

[문제 11] 극좌표(Polar Coordinates)로 주어진 곡선의 선적분

극방정식 $r = 2\theta \quad (0 \le \theta \le \pi)$ 로 정의된 심장형/나선형 곡선 $C$ 위에서 함수 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ 의 선적분 $\int_C f(x, y) \, ds$ 를 구하여라.

[풀이]

극좌표의 직교좌표 매개변수화:

$x = r\cos\theta = 2\theta \cos\theta$, $y = r\sin\theta = 2\theta \sin\theta$

극좌표에서의 호의 길이 요소 $ds$ 공식 적용:

극좌표계에서 $ds = \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta$ 이다.

$r = 2\theta \implies \frac{dr}{d\theta} = 2$

$$ds = \sqrt{(2\theta)^2 + 2^2} \, d\theta = \sqrt{4\theta^2 + 4} \, d\theta = 2\sqrt{\theta^2 + 1} \, d\theta$$

피적분 함수 대입 및 적분:

$$f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} = r = 2\theta$$

$$\int_C \sqrt{x^2 + y^2} \, ds = \int_0^\pi (2\theta) \cdot \left( 2\sqrt{\theta^2 + 1} \, d\theta \right) = 4 \int_0^\pi \theta \sqrt{\theta^2 + 1} \, d\theta$$

적분 계산 ($u = \theta^2 + 1 \implies du = 2\theta \, d\theta$):

$$\theta = 0 \to u = 1, \quad \theta = \pi \to u = \pi^2 + 1$$

$$= 2 \int_1^{\pi^2 + 1} u^{1/2} \, du = 2 \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{\pi^2 + 1} = \frac{4}{3} \left( (\pi^2 + 1)^{3/2} - 1 \right)$$

 

[문제 12] 선적분을 이용한 곡선의 평균값(Average Value) 구하기

질량이 균일한 고리 모양의 곡선 $C: \mathbf{r}(t) = 3\cos t \, \mathbf{i} + 3\sin t \, \mathbf{j} \quad (0 \le t \le 2\pi)$ 위에서 함수 $f(x, y) = x^2$ 의 평균값 $\bar{f}$를 구하여라.

[풀이]

곡선 $C$ 위에서 함수 $f$의 평균값은 (함수의 선적분)을 (곡선의 전체 길이 $L$)로 나눈 값으로 정의된다.

$$\bar{f} = \frac{1}{L} \int_C f(x, y) \, ds$$

곡선의 전체 길이 $L$ 계산:

$$\mathbf{v}(t) = -3\sin t \, \mathbf{i} + 3\cos t \, \mathbf{j} \implies \vert{}\mathbf{v}(t)\vert{} = 3$$

$$L = \int_0^{2\pi} 3 \, dt = 6\pi \quad (\text{반지름이 } 3\text{인 원의 둘레})$$

함수 $f(x, y) = x^2$ 의 선적분 계산:

$$x = 3\cos t \implies x^2 = 9\cos^2 t$$

$$\int_C x^2 \, ds = \int_0^{2\pi} (9\cos^2 t) \cdot 3 \, dt = 27 \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt$$

$$= \frac{27}{2} \left[ t + \frac{\sin 2t}{2} \right]_0^{2\pi} = \frac{27}{2} (2\pi) = 27\pi$$

평균값:$$\bar{f} = \frac{27\pi}{6\pi} = \frac{9}{2}$$

[문제 13] 회전축이 원점을 지나지 않는 직선일 때의 관성모멘트

밀도가 $\delta = 1$ 로 일정한 직선 철사 $C: \mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t\mathbf{j} \quad (0 \le t \le 1)$ 의 직선 $x = 2$ 에 대한 관성모멘트 $I_{x=2}$ 를 구하여라.

[풀이]

특정 직선 $L$에 대한 관성모멘트 공식은 $I_L = \int_C r^2 \delta \, ds$ 이다. 여기서 $r$은 곡선 위의 점 $(x, y)$에서 회전축 $L$까지의 수직 거리이다.

회전축 $x = 2$ 까지의 거리 $r$ 구하기:

곡선 위의 점 $(t, t)$에서 직선 $x = 2$ 까지의 거리는 $r = \vert{}2 - x\vert{} = \vert{}2 - t\vert{}$ 이다.

$0 \le t \le 1$ 범위이므로 $r = 2 - t$ 이다.

속력 $\vert{}\mathbf{v}(t)\vert{}$ 계산:

$$\mathbf{v}(t) = \mathbf{i} + \mathbf{j} \implies \vert{}\mathbf{v}(t)\vert{} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

관성모멘트 선적분 계산:

$$I_{x=2} = \int_C (2 - x)^2 \cdot 1 \, ds = \int_0^1 (2 - t)^2 \cdot \sqrt{2} \, dt$$

$$= \sqrt{2} \int_0^1 (4 - 4t + t^2) \, dt = \sqrt{2} \left[ 4t - 2t^2 + \frac{1}{3}t^3 \right]_0^1$$

$$= \sqrt{2} \left( 4 - 2 + \frac{1}{3} \right) = \frac{7\sqrt{2}}{3}$$