5-3. 경로의 독립성, 보존장, 그리고 포텐셜 함수 (Path Independence, Conservative Fields, and Potential Functions) 15문제와 풀이

[본문글] 5-3. 경로의 독립성, 보존장, 그리고 포텐셜 함수 (Path Independence, Conservative Fields, and Potential Functions)

 

[문제 1]다음 벡터장이 보존장(Conservative Field)인지 판정하여라.$$\mathbf{F}(x, y, z) = 2xyz^3 \mathbf{i} + x^2z^3 \mathbf{j} + 3x^2yz^2 \mathbf{k}$$

[풀이]

성분 함수를 각각 $M = 2xyz^3$, $N = x^2z^3$, $P = 3x^2yz^2$이라 하자.

보존장이 되기 위한 조건인 $\text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$을 만족하는지 편미분을 통해 확인한다.

$\frac{\partial P}{\partial y}$와 $\frac{\partial N}{\partial z}$ 비교:

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2yz^2) = 3x^2z^2$$

$$\frac{\partial N}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x^2z^3) = 3x^2z^2$$

따라서 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial z}$ 성립한다.

$\frac{\partial M}{\partial z}$와 $\frac{\partial P}{\partial x}$ 비교:

$$\frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2xyz^3) = 6xyz^2$$

$$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2yz^2) = 6xyz^2$$

따라서 $\frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x}$ 성립한다.

$\frac{\partial N}{\partial x}$와 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 비교:

$$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2z^3) = 2xz^3$$

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xyz^3) = 2xz^3$$

따라서 $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}$ 성립한다.

세 조건이 모두 일치하므로 $\text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$이다. 주어진 벡터장의 정의역은 실수 전체 공간 $\mathbb{R}^3$으로 단순 연결 영역이므로, 벡터장 $\mathbf{F}$는 보존장이다.

 

[문제 2]다음 벡터장이 보존장인지 판정하여라.$$\mathbf{F}(x, y, z) = z\mathbf{i} + (x + y)\mathbf{j} + x\mathbf{k}$$

[풀이]

성분 함수를 $M = z$, $N = x + y$, $P = x$라 하자.

$\frac{\partial N}{\partial x}$와 $\frac{\partial M}{\partial y}$를 비교해보면 다음과 같다.

$$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x + y) = 1$$

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(z) = 0$$

$\frac{\partial N}{\partial x} \neq \frac{\partial M}{\partial y}$이므로 $\text{curl } \mathbf{F} \neq \mathbf{0}$이다.

따라서 성분 검정법 조건을 만족하지 않으므로 벡터장 $\mathbf{F}$는 보존장이 아니다.

 

[문제 3]벡터장 $\mathbf{F}(x, y, z) = e^{2y+z}\mathbf{i} + 2xe^{2y+z}\mathbf{j} + xe^{2y+z}\mathbf{k}$ 의 포텐셜 함수 $f(x, y, z)$를 구하여라.

[풀이]

포텐셜 함수 $f$는 $\nabla f = \mathbf{F}$를 만족해야 하므로 다음 세 식을 성립시킨다.

1. $f_x = e^{2y+z}$

2. $f_y = 2xe^{2y+z}$

3. $f_z = xe^{2y+z}$

1번 식 $f_x = e^{2y+z}$를 $x$에 대해 적분한다.

$$f(x, y, z) = \int e^{2y+z} dx = x e^{2y+z} + g(y, z)$$

위에서 구한 $f$를 $y$에 대해 편미분한 뒤 2번 식 $f_y$와 비교한다.

$$f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x e^{2y+z} + g(y, z)) = 2x e^{2y+z} + \frac{\partial g}{\partial y}$$

2번 식 $f_y = 2x e^{2y+z}$와 비교하면 $\frac{\partial g}{\partial y} = 0$이므로 $g(y, z)$는 $y$에 의존하지 않고 $z$만의 함수 $h(z)$로 표현된다.

$$f(x, y, z) = x e^{2y+z} + h(z)$$

다시 $z$에 대해 편미분하여 3번 식 $f_z$와 비교한다.

$$f_z = \frac{\partial}{\partial z}(x e^{2y+z} + h(z)) = x e^{2y+z} + h'(z)$$

3번 식 $f_z = x e^{2y+z}$와 비교하면 $h'(z) = 0$이므로 $h(z) = C$ (상수)이다.

결론:

따라서 구하는 포텐셜 함수는 다음과 같다.

$$f(x, y, z) = x e^{2y+z} + C$$

 

 

[문제 4] 벡터장 $\mathbf{F}(x, y, z) = (y \cos z)\mathbf{i} + (x \cos z + z)\mathbf{j} + (-xy \sin z + y)\mathbf{k}$ 의 포텐셜 함수 $f(x, y, z)$를 구하여라.

[풀이]

포텐셜 조건 $\nabla f = \mathbf{F}$에 따라 아래 관계식을 얻는다.

1. $f_x = y \cos z$

2. $f_y = x \cos z + z$

3. $f_z = -xy \sin z + y$

$f_x = y \cos z$를 $x$에 대해 적분한다.

$$f(x, y, z) = x y \cos z + g(y, z)$$

이를 $y$로 편미분하여 2번 식과 비교한다.

$$f_y = x \cos z + \frac{\partial g}{\partial y} = x \cos z + z$$

$$\implies \frac{\partial g}{\partial y} = z \implies g(y, z) = y z + h(z)$$

따라서 $f(x, y, z) = xy \cos z + yz + h(z)$가 된다.

이를 $z$로 편미분하여 3번 식과 비교한다.

$$f_z = -xy \sin z + y + h'(z) = -xy \sin z + y$$

$$\implies h'(z) = 0 \implies h(z) = C$$

결론:

따라서 구하는 포텐셜 함수는 다음과 같다.

$$f(x, y, z) = xy \cos z + yz + C$$

[문제 5]주어진 피적분 미분형식 $(2x z^2 + y) dx + (x + 3y^2) dy + (2x^2 z) dz$ 가 완전미분형식(Exact Differential Form)임을 보이고, 점 $(0, 1, 0)$에서 점 $(1, 2, 1)$까지의 선적분 값 $\int_{(0,1,0)}^{(1,2,1)} \left( (2xz^2 + y) dx + (x + 3y^2) dy + 2x^2z dz \right)$ 를 구하여라.

[풀이]

$M = 2xz^2 + y$, $N = x + 3y^2$, $P = 2x^2z$ 라 하자.

완전미분형식 검정

$\frac{\partial P}{\partial y} = 0$, $\frac{\partial N}{\partial z} = 0 \implies \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial z}$

$\frac{\partial M}{\partial z} = 4xz$, $\frac{\partial P}{\partial x} = 4xz \implies \frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x}$

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \implies \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}$

세 조건이 모두 일치하므로 주어진 미분형식은 완전미분형식이다. 즉, $df = M dx + N dy + P dz$를 만족하는 스칼라 함수 $f(x, y, z)$가 존재한다.

포텐셜 함수 $f$ 구하기

$f_x = 2xz^2 + y \implies f(x, y, z) = x^2z^2 + xy + g(y, z)$

$f_y = x + \frac{\partial g}{\partial y} = x + 3y^2 \implies \frac{\partial g}{\partial y} = 3y^2 \implies g(y, z) = y^3 + h(z)$

$f_z = 2x^2z + h'(z) = 2x^2z \implies h'(z) = 0 \implies h(z) = C$

따라서 포텐셜 함수는 $f(x, y, z) = x^2z^2 + xy + y^3 + C$ 이다.

선적분 계산

선적분의 기본정리에 의하여 적분값은 $f(1, 2, 1) - f(0, 1, 0)$ 과 같다.

$f(1, 2, 1) = (1)^2(1)^2 + (1)(2) + (2)^3 + C = 1 + 2 + 8 + C = 11 + C$

$f(0, 1, 0) = (0)^2(0)^2 + (0)(1) + (1)^3 + C = 1 + C$

$$\int_{(0,1,0)}^{(1,2,1)} M dx + N dy + P dz = (11 + C) - (1 + C) = 10$$

 

[문제 6]벡터장 $\mathbf{F}(x, y, z) = \frac{3x^2 \mathbf{i} + 3y^2 \mathbf{j} + 3z^2 \mathbf{k}}{x^3 + y^3 + z^3}$ 의 포텐셜 함수 $f(x, y, z)$를 구하고, 점 $(1, 0, 1)$에서 점 $(2, 1, 1)$까지의 선적분 $\int_{(1,0,1)}^{(2,1,1)} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 의 값을 구하여라.

[풀이]

포텐셜 함수 $f$ 구하기

$\nabla f = \mathbf{F}$이므로 성분별로 적분한다.

$$f_x = \frac{3x^2}{x^3 + y^3 + z^3}$$

$u = x^3 + y^3 + z^3$이라 두고 $x$에 대해 적분하면 $du = 3x^2 dx$이므로 다음과 같다.

$$f(x, y, z) = \ln\vert{}x^3 + y^3 + z^3\vert{} + g(y, z)$$

이를 $y$와 $z$로 각각 편미분하여 $\mathbf{F}$의 $y, z$ 성분과 비교해보면 $g(y, z) = C$임을 알 수 있다.

따라서 포텐셜 함수는 다음과 같다.

$$f(x, y, z) = \ln(x^3 + y^3 + z^3) + C \quad (x^3 + y^3 + z^3 > 0 \text{ 인 영역에서 정의})$$

선적분 계산

시점 $A(1, 0, 1)$과 종점 $B(2, 1, 1)$에서의 포텐셜 함숫값을 계산한다.

$f(2, 1, 1) = \ln(2^3 + 1^3 + 1^3) + C = \ln(10) + C$

$f(1, 0, 1) = \ln(1^3 + 0^3 + 1^3) + C = \ln(2) + C$

따라서 선적분 값은 다음과 같다.

$$\int_{(1,0,1)}^{(2,1,1)} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(2, 1, 1) - f(1, 0, 1) = \ln(10) - \ln(2) = \ln\left(\frac{10}{2}\right) = \ln 5$$

 

[문제 7] 점 $A$에서 점 $B$로 가는 임의의 매끄러운 곡선 $C$에 대해 다음 선적분의 값이 경로의 선택에 의존하지 않음을 보여라.$$\int_C \frac{x\,dx + y\,dy + z\,dz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$$

[풀이]

선적분 값이 경로에 독립적임을 보이려면 피적분 함수 벡터장이 보존장(Conservative Field)임을 증명하면 된다.

벡터장을 $\mathbf{F} = M\mathbf{i} + N\mathbf{j} + P\mathbf{k} = \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{i} + \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{j} + \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{k}$ 라 하자.

스칼라 함수 $f(x, y, z) = \frac{-1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ 를 생각해보자.

$f$의 편미분을 구해보면 다음과 같다.

$$\frac{\partial f}{\partial x} = -\left(-\frac{1}{2}\right)(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} \cdot 2x = \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = M$$

마찬가지 방식으로 $\frac{\partial f}{\partial y} = N$, $\frac{\partial f}{\partial z} = P$ 가 성립한다.

즉, $\mathbf{F} = \nabla\left( \frac{-1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right)$ 로 나타나므로 $\mathbf{F}$는 포텐셜 함수 $f$를 가지는 보존장이다.

보존장에 대한 선적분은 선적분의 기본정리에 의하여 양 끝점에서의 함숫값 차 $f(B) - f(A)$로만 결정된다.

따라서 해당 선적분의 값은 $A$에서 $B$로 가는 경로의 선택에 의존하지 않는다.

[문제 8]벡터장 $\mathbf{F} = (2x y + z)\mathbf{i} + (x^2 + 2y)\mathbf{j} + x\mathbf{k}$ 가 주어져 있다. 점 $A(0, 0, 0)$에서 점 $B(1, 1, 1)$까지 이동할 때, 다음 각 경로를 따라 벡터장 $\mathbf{F}$가 한 일(Work) $W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 을 구하여라.

a) 직선 경로: $\mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t\mathbf{j} + t\mathbf{k}$ ($0 \le t \le 1$)

b) 나선(Helix) 경로: $\mathbf{r}(t) = \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + t^3\mathbf{k}$ ($0 \le t \le 1$)

[풀이]

보존장 확인 및 포텐셜 함수 구하기

먼저 $\mathbf{F}$가 보존장인지 확인한다.

$\frac{\partial P}{\partial y} = 0 = \frac{\partial N}{\partial z}$

$\frac{\partial M}{\partial z} = 1 = \frac{\partial P}{\partial x}$

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2x = \frac{\partial M}{\partial y}$

성분 검정법을 만족하므로 $\mathbf{F}$는 보존장이다.

포텐셜 함수 $f$를 구하면 다음과 같다.

$f_x = 2xy + z \implies f = x^2 y + xz + g(y, z)$

$f_y = x^2 + g_y = x^2 + 2y \implies g_y = 2y \implies g = y^2 + h(z)$

$f_z = x + h'(z) = x \implies h'(z) = 0 \implies h(z) = C$

따라서 포텐셜 함수는 $f(x, y, z) = x^2 y + xz + y^2 + C$ 이다.

경로별 일 계산

$\mathbf{F}$가 보존장이므로 선적분의 값은 경로의 형태(직선이든 나선이든)와 전혀 무관하게 오직 시점 $A(0,0,0)$과 종점 $B(1,1,1)$의 위치로만 결정된다.

$f(A) = f(0, 0, 0) = 0 + C$

$f(B) = f(1, 1, 1) = 1^2(1) + 1(1) + 1^2 + C = 3 + C$

a) 직선 경로를 따를 때 한 일:

$$W_a = f(1, 1, 1) - f(0, 0, 0) = 3$$

b) 나선 경로를 따를 때 한 일:

$$W_b = f(1, 1, 1) - f(0, 0, 0) = 3$$

경로와 관계없이 두 결과는 모두 $3$으로 동일하다.

[문제 9]미분형식 $(ay^2 + bzx) dx + y(bx + cz) dy + (x^2 + cy^2) dz$ 가 완전미분형식(Exact Differential Form)이 되기 위한 상수 $a, b, c$의 관계를 구하여라.

[풀이]

주어진 성분 함수를 $M = ay^2 + bzx$, $N = bxy + cyz$, $P = x^2 + cy^2$ 이라 하자.

완전미분형식이 되기 위해서는 $\text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$을 만족해야 하므로 다음 세 조건이 성립해야 한다.

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial z}$ 비교:

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + cy^2) = 2cy$$

$$\frac{\partial N}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(bxy + cyz) = cy$$

두 식이 같아야 하므로 $2cy = cy \implies c = 0$ 이다.

$\frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x}$ 비교:

$$\frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(ay^2 + bzx) = bx$$

$$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + cy^2) = 2x$$

두 식이 같아야 하므로 $bx = 2x \implies b = 2$ 이다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}$ 비교:

$$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(bxy + cyz) = by$$

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(ay^2 + bzx) = 2ay$$

두 식이 같아야 하므로 $by = 2ay \implies b = 2a$ 이다.

앞서 구한 $b = 2$를 대입하면 $2a = 2 \implies a = 1$ 이 된다.

결론:

따라서 주어진 미분형식이 완전미분형식이 되기 위한 상수의 값은 $a = 1, b = 2, c = 0$ 이다.

[문제 10]벡터장 $\mathbf{F} = \nabla(x^2 y^3) = 2xy^3 \mathbf{i} + 3x^2 y^2 \mathbf{j}$ 가 주어져 있다. 점 $A(-1, 2)$에서 점 $B(1, 2)$로 이동하는 경로 $C$가 점 $A(-1, 2)$에서 원점 $(0, 0)$을 잇는 선분 $C_1$과, 원점 $(0, 0)$에서 점 $B(1, 2)$를 잇는 선분 $C_2$로 구성될 때, 선적분 $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 의 값을 다음 두 가지 방법으로 구하여라.

a) 경로 $C_1$과 $C_2$를 매개변수화하여 직접 선적분을 계산하여라.

b) 포텐셜 함수 $f(x, y) = x^2 y^3$을 이용하여 선적분을 계산하여라.

[풀이]

a) 직접 매개변수화하여 계산하는 방법:

경로 $C_1$ [ $(-1, 2) \to (0, 0)$ ]: 신경 쓰지 않고 매개변수화

$$\mathbf{r}_1(t) = (t - 1, -2t + 2) \quad (0 \le t \le 1)$$

$$\mathbf{r}_1'(t) = (1, -2)$$

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}_1(t)) = \left( 2(t-1)(-2t+2)^3, \; 3(t-1)^2(-2t+2)^2 \right) = \left( -16(t-1)^4, \; 12(t-1)^4 \right)$$

$$\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}_1 = \int_0^1 \left( -16(t-1)^4 \cdot 1 + 12(t-1)^4 \cdot (-2) \right) dt = \int_0^1 -40(t-1)^4 dt$$

$$= \left[ -8(t-1)^5 \right]_0^1 = 0 - (-8(-1)^5) = -8$$

경로 $C_2$ [ $(0, 0) \to (1, 2)$ ]:

$$\mathbf{r}_1(t) = (t - 1, -2t + 2) \quad (0 \le t \le 1)$$

$$\mathbf{r}_2'(t) = (1, 2)$$

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}_2(t)) = \left( 2(t)(2t)^3, \; 3(t)^2(2t)^2 \right) = \left( 16t^4, \; 12t^4 \right)$$

$$\int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}_2 = \int_0^1 \left( 16t^4 \cdot 1 + 12t^4 \cdot 2 \right) dt = \int_0^1 40t^4 dt = \left[ 8t^5 \right]_0^1 = 8$$

$$\mathbf{r}_2(t) = (t, 2t) \quad (0 \le t \le 1)$$

두 경로의 합은 $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C_1} + \int_{C_2} = -8 + 8 = \mathbf{0}$ 이다.

b) 포텐셜 함수를 이용하는 방법:

$\mathbf{F} = \nabla(x^2 y^3)$ 이므로 포텐셜 함수는 $f(x, y) = x^2 y^3$ 이다.

선적분의 기본정리에 의해 시점 $A(-1, 2)$와 종점 $B(1, 2)$에서의 함숫값 차만 구하면 된다.

종점에서의 함숫값: $f(1, 2) = (1)^2 (2)^3 = 8$

시점에서의 함숫값: $f(-1, 2) = (-1)^2 (2)^3 = 8$

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(1, 2) - f(-1, 2) = 8 - 8 = \mathbf{0}$$

두 경로를 직접 적분한 값과 포텐셜 함수를 이용한 결과가 $0$으로 일치한다.

[문제 11]어떤 입자를 점 $A$에서 점 $B$까지 이동시키는 힘의 장 $\mathbf{F}$가 존재한다. 힘 $\mathbf{F}$가 하는 일을 최소로 만드는 이동 경로 $C$를 찾으라는 요청을 받았을 때, 계산 결과 $\mathbf{F}$가 보존장으로 밝혀졌다. 이 경우 답변을 어떻게 제시해야 하는지 서술하여라.

[풀이]

힘의 장 $\mathbf{F}$가 보존장(Conservative Field)이라면 선적분의 기본정리에 의해 점 $A$에서 점 $B$까지 이동할 때 힘 $\mathbf{F}$가 하는 일 $W$는 다음과 같이 정의된다.

$$W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)$$

여기서 $f$는 힘의 장 $\mathbf{F}$의 포텐셜 함수이다.

이 식에서 알 수 있듯이, 보존장에서 한 일 $W$는 점 $A$와 점 $B$ 사이의 경로 $C$의 모양에 전혀 영향을 받지 않으며, 오직 시점 $A$와 종점 $B$의 위치에 의해서만 고정된 값으로 결정된다.

결론:

따라서 "일을 최소로 만드는 특정 경로는 따로 존재하지 않으며, 점 $A$에서 점 $B$로 이동하는 모든 매끄러운 경로에 대해 힘이 하는 일은 동일하다"라고 답변해야 한다.

[문제 12]상수 벡터장 $\mathbf{F} = C_1 \mathbf{i} + C_2 \mathbf{j} + C_3 \mathbf{k}$ ($C_1, C_2, C_3$은 상수)가 입자를 점 $A(x_1, y_1, z_1)$에서 점 $B(x_2, y_2, z_2)$까지 임의의 경로 $C$를 따라 이동시킬 때 한 일 $W$가 다음과 같음을 증명하여라.$$W = \mathbf{F} \cdot \overrightarrow{AB}$$

[풀이]

스칼라 함수 $f(x, y, z) = C_1 x + C_2 y + C_3 z$ 라 두자.

$f$의 기울기 벡터(Gradient)를 구하면 다음과 같다.

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k} = C_1 \mathbf{i} + C_2 \mathbf{j} + C_3 \mathbf{k} = \mathbf{F}$$

즉, 상수 벡터장 $\mathbf{F}$는 포텐셜 함수 $f(x, y, z) = C_1 x + C_2 y + C_3 z$를 갖는 보존장이다.

선적분의 기본정리에 의해 $A$에서 $B$로 이동할 때 한 일 $W$는 다음과 같다.

$$W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)$$

$f(B) = f(x_2, y_2, z_2) = C_1 x_2 + C_2 y_2 + C_3 z_2$

$f(A) = f(x_1, y_1, z_1) = C_1 x_1 + C_2 y_1 + C_3 z_1$

이를 계산하면 다음과 같다.

$$W = C_1 (x_2 - x_1) + C_2 (y_2 - y_1) + C_3 (z_2 - z_1)$$

한편, 위치 벡터 $\overrightarrow{AB}$는 $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1)\mathbf{i} + (y_2 - y_1)\mathbf{j} + (z_2 - z_1)\mathbf{k}$ 이다.

두 벡터의 내적을 구하면 다음과 같다.

$$\mathbf{F} \cdot \overrightarrow{AB} = (C_1, C_2, C_3) \cdot (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = C_1(x_2 - x_1) + C_2(y_2 - y_1) + C_3(z_2 - z_1)$$

따라서 경로의 형태와 무관하게 $W = \mathbf{F} \cdot \overrightarrow{AB}$가 항상 성립한다.

[문제 13]원점을 제외한 평면 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ 에서 정의된 벡터장 $\mathbf{F}(x, y) = \frac{-y}{x^2 + y^2} \mathbf{i} + \frac{x}{x^2 + y^2} \mathbf{j}$ 이 주어져 있다.

원점을 중심으로 하는 단위 원 $C: x^2 + y^2 = 1$ 을 반시계 방향으로 한 바퀴 도는 선적분 $\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 의 값을 구하고, $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}$ 임에도 불구하고 왜 선적분 값이 $0$이 되지 않는지 설명하여라.

[풀이]

$\frac{\partial N}{\partial x}$와 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 계산

$M = \frac{-y}{x^2 + y^2}$, $N = \frac{x}{x^2 + y^2}$ 라 두자.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{-(x^2 + y^2) - (-y)(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

모든 $(x, y) \neq (0, 0)$ 에서 $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}$ 가 성립한다.

단위 원 $C$ 위에서의 직접 선적분 계산

단위 원 $C$를 $r(t) = (\cos t, \sin t)$ ($0 \le t \le 2\pi$)로 매개변수화한다.

$x^2 + y^2 = 1$ 이므로 $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t) \mathbf{i} + (\cos t) \mathbf{j}$ 이고, $d\mathbf{r} = (-\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j}) dt$ 이다.

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} \left( (-\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t) \right) dt = \int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t) dt = \int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi$$

결과의 원인 분석

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}$ 임에도 불구하고 닫힌 경로 적분 값이 $0$이 아닌 $2\pi$가 나온 이유는, 벡터장 $\mathbf{F}$의 정의 구역이 원점 $(0,0)$에서 정의되지 않아 '구멍'이 존재하는 비단순 연결 영역(Not Simply Connected Domain)이기 때문이다.

성분 검정법으로 보존장임을 보장하려면 정의역 전체가 구멍이 없는 단순 연결 영역이어야만 한다는 정리를 명확히 보여주는 예시이다.

[문제 14] 질량이 $m = 2 \text{ kg}$ 인 입자가 보존장 $\mathbf{F}(x, y, z) = \nabla f$ 의 힘을 받으며 이동한다. 여기서 포텐셜 함수는 $f(x, y, z) = x^2 y + z^2$ 이다.

입자가 점 $A(1, 0, 2)$ 에서 정지 상태(속도 $v_A = 0$)로 출발하여 점 $B(2, 3, 1)$ 로 이동했을 때, 점 $B$에서의 입자의 속력 $v_B$를 구하여라.

[풀이]

힘의 장이 한 일 $W$ 계산

힘 $\mathbf{F}$가 보존장이므로, 점 $A$에서 점 $B$까지 이동할 때 힘이 입자에 한 일 $W$는 선적분의 기본정리에 의해 포텐셜 함숫값의 차와 같다.

$$W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)$$

$f(A) = f(1, 0, 2) = (1)^2(0) + (2)^2 = 4$

$f(B) = f(2, 3, 1) = (2)^2(3) + (1)^2 = 12 + 1 = 13$

따라서 한 일은 다음과 같다.

$$W = 13 - 4 = 9 \text{ J}$$

일-운동 에너지 정리 적용

일-운동 에너지 정리에 의해 힘이 한 일은 입자의 운동 에너지 변화량과 같다.

$$W = \Delta K = \frac{1}{2}m v_B^2 - \frac{1}{2}m v_A^2$$

문제에서 $m = 2 \text{ kg}$, $v_A = 0$, $W = 9$ 이므로 대입하면 다음과 같다.

$$9 = \frac{1}{2}(2) v_B^2 - 0 \implies v_B^2 = 9 \implies v_B = 3 \text{ m/s}$$

결론:

점 $B$에서의 입자의 속력은 $3 \text{ m/s}$ 이다.

[문제 15]2차원 벡터장 $\mathbf{F}(x, y) = (2x y + a x) \mathbf{i} + (x^2 + b y) \mathbf{j}$ 가 다음 두 조건을 모두 만족할 때, 상수 $a, b$의 값을 구하고 포텐셜 함수 $f(x, y)$를 구하여라.

1. $\mathbf{F}$는 보존장이다.

2. $\mathbf{F}$의 발산(Divergence)이 $0$이다 ($\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$).

[풀이]

조건 1 (보존장 조건) 적용

$M = 2xy + ax$, $N = x^2 + by$ 라 두자.

보존장이 되려면 $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}$ 이어야 한다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x$

이미 $a, b$의 값에 관계없이 $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y} = 2x$ 가 성립하므로, 임의의 $a, b$에 대해 $\mathbf{F}$는 항상 보존장이다.

조건 2 (발산이 0인 조건) 적용

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} = 0$$

$\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy + ax) = 2y + a$

$\frac{\partial N}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + by) = b$

따라서 $\nabla \cdot \mathbf{F} = (2y + a) + b = 2y + (a + b) = 0$ 이 모든 $(x, y)$에 대해 항등적으로 성립해야 한다.

$y$의 계수가 $0$이 될 수 없으므로, 이와 같은 조건을 완벽히 만족시키는 고정된 상수는 존재하지 않고 $y$에 독립적인 조건이어야 한다.

만약 문제가 $\mathbf{F}(x, y) = (2xy + a y) \mathbf{i} + (x^2 + b x) \mathbf{j}$ 형태라면 $a=b$ 등의 상수가 결정되며, 위 표준 라플라시안 조건에서는 다음과 같이 포텐셜 함수 $f$를 구한다.

$\mathbf{F} = \nabla f$ 로부터:

$f_x = 2xy + ax \implies f(x, y) = x^2 y + \frac{a}{2}x^2 + g(y)$

$f_y = x^2 + g'(y) = x^2 + by \implies g'(y) = by \implies g(y) = \frac{b}{2}y^2 + C$

결론:

포텐셜 함수는 $f(x, y) = x^2 y + \frac{a}{2}x^2 + \frac{b}{2}y^2 + C$ 이며, $f$가 라플라스 방정식 $\nabla^2 f = f_{xx} + f_{yy} = 2y + a + b = 0$을 만족하려면 $2y + a + b = 0$ 관계를 충족해야 한다.