6-2. 도함수·적분의 라플라스 변환 및 단위 계단함수(제2 평행이동)

[이전글] 6-1. 라플라스 변환(Laplace Transform) 기초와 제1 이동 정리(s-Shifting) 정리

[다음글] 6-3. 라플라스 변환: 디랙 델타 함수, 부분분수, 합성곱(Convolution)과 응용

★본문의 더보기는 증명과 풀이입니다.

 

라플라스 변환(Laplace Transform)의 가장 핵심적인 장점은 ‘미적분 연산을 단순한 대수 연산(곱셈과 나눗셈)으로 변환해준다’는 점이다. 로그를 사용하면 곱셈이 덧셈으로 바뀌듯, 라플라스 변환을 이용하면 미분이 $s$의 곱셈으로, 적분이 $s$의 나눗셈으로 바뀐다.

 

1. 도함수의 라플라스 변환 (Laplace Transform of Derivatives)

[정리 1]

함수 $f(t)$가 연속이고 지수적 성장 조건(growth restriction)을 만족하며, $f'(t)$가 조각별 연속(piecewise continuous)일 때 다음이 성립한다:

$$\mathcal{L}(f') = s\mathcal{L}(f) - f(0)$$

마찬가지로 $f(t)$와 $f'(t)$가 연속이고 $f''(t)$가 조각별 연속이면 다음이 성립한다:$$\mathcal{L}(f'') = s^2\mathcal{L}(f) - s f(0) - f'(0)$$

[증명]

1) 1계 도함수의 증명: 부분적분법(Integration by parts)을 적용한다.

$$\mathcal{L}(f') = \int_0^\infty e^{-st} f'(t) \, dt$$

$$\mathcal{L}(f') = \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^\infty - \int_0^\infty (-s) e^{-st} f(t) \, dt$$

$s > k$일 때 $t \to \infty$에서 $e^{-st} f(t) \to 0$이 되므로, 위 식은 다음과 같이 정리된다.

$$\mathcal{L}(f') = (0 - f(0)) + s \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt = s\mathcal{L}(f) - f(0)$$

2) 2계 도함수의 증명: 1계 도함수의 결과를 $f'$에 재귀적으로 적용한다.

$$\mathcal{L}(f'') = s\mathcal{L}(f') - f'(0)$$

여기에 $\mathcal{L}(f') = s\mathcal{L}(f) - f(0)$를 대입하면:

$$\mathcal{L}(f'') = s\left(s\mathcal{L}(f) - f(0)\right) - f'(0) = s^2\mathcal{L}(f) - s f(0) - f'(0)$$

 

[정리 2] $n$계 도함수로의 확장

수학적 귀납법을 확장하면 임의의 $n$계 도함수에 대해 일반화할 수 있다.

$$\mathcal{L}(f^{(n)}) = s^n \mathcal{L}(f) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$$

2. 적분의 라플라스 변환 (Laplace Transform of Integrals)

[정리 3]

함수 $f(t)$의 라플라스 변환을 $F(s) = \mathcal{L}(f)$라 하자. $f(t)$가 조각별 연속이고 지수적 성장 조건을 만족하면 다음이 성립한다.

$$\mathcal{L}\left( \int_0^t f(\tau) \, d\tau \right) = \frac{1}{s} F(s)$$

역변환으로 나타내면 다음과 같다.

$$\int_0^t f(\tau) \, d\tau = \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s} F(s) \right)$$

[증명]

$g(t) = \int_0^t f(\tau) \, d\tau$ 라 정의하자. 그러면 미적분학의 기본정리에 의해 $g'(t) = f(t)$ 이고, 초기값 $g(0) = 0$ 이다.

도함수의 라플라스 변환 공식(정리 1)을 $g(t)$에 적용하면 다음과 같다.

$$\mathcal{L}(f) = \mathcal{L}(g') = s\mathcal{L}(g) - g(0) = s\mathcal{L}(g)$$

양변을 $s$로 나누고 정리하면 다음을 얻는다.

$$\mathcal{L}(g) = \frac{1}{s} \mathcal{L}(f) = \frac{1}{s} F(s)$$

$$\therefore \mathcal{L}\left( \int_0^t f(\tau) \, d\tau \right) = \frac{1}{s} F(s)$$

3. 라플라스 변환을 이용한 미분방정식(IVP) 해결 절차

2계 선형 미분방정식 초기값 문제 $y'' + ay' + by = r(t)$, $y(0) = K_0$, $y'(0) = K_1$ 은 다음 3단계로 해결한다.

1. 보조 방정식(Subsidiary Equation) 세우기: 주어진 미분방정식 양변에 라플라스 변환을 취하고 초기값을 대입한다.
2. 대수 방정식 풀기: $Y(s) = \mathcal{L}(y)$에 대해 정리한다. 전달함수(Transfer Function) $Q(s) = \frac{1}{s^2 + as + b}$를 이용하면 $Y(s)$를 용이하게 나타낼 수 있다.
3. 역변환(Inversion) 구하기: 부분분수 분해 등을 수행한 뒤, 라플라스 역변환을 취해 해 $y(t) = \mathcal{L}^{-1}(Y)$를 구한다.

[예제 1라플라스 변환을 사용하여 다음 초기값 문제를 풀어라.$$y'' - 4y = 4t, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 2$$

[풀이] 양변에 라플라스 변환을 적용하고 초기값을 대입한다.

$$\mathcal{L}(y'') - 4\mathcal{L}(y) = 4\mathcal{L}(t)$$

$$\left( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) \right) - 4Y(s) = \frac{4}{s^2}$$

$$\left( s^2 Y(s) - s - 2 \right) - 4Y(s) = \frac{4}{s^2}$$

$$\left( s^2 - 4 \right) Y(s) = s + 2 + \frac{4}{s^2}$$

$Y(s)$에 대해 정리한다.

$$Y(s) = \frac{s+2}{s^2-4} + \frac{4}{s^2(s^2-4)}$$

첫 번째 항을 약분하고 두 번째 항을 부분분수 분해한다.

$$\frac{s+2}{s^2-4} = \frac{s+2}{(s-2)(s+2)} = \frac{1}{s-2}$$

$$\frac{4}{s^2(s^2-4)} = \frac{1}{s^2-4} - \frac{1}{s^2}$$

따라서 $Y(s)$는 다음과 같다.

$$Y(s) = \frac{1}{s-2} + \frac{1}{s^2-4} - \frac{1}{s^2}$$

라플라스 역변환을 적용한다.

$$y(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \right\} + \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^2-4} \right\} - \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^2} \right\}$$

$$y(t) = e^{2t} + \frac{1}{2} \sinh(2t) - t$$

 

[예제 2] 초기 위치가 $t_0 > 0$ 인 문제 (Shifted Data Problem)

$t_0 = \pi$에서 초기 조건이 주어진 미분방정식을 풀어라.$$y'' + y = 0, \quad y(\pi) = 3, \quad y'(\pi) = -1$$

[풀이] 시간 변수를 평행이동하기 위해 $\tilde{t} = t - \pi$로 두자 ($t = \tilde{t} + \pi$). $\tilde{y}(\tilde{t}) = y(t)$로 정의하면 초기 조건은 $\tilde{t} = 0$에서 다음과 같이 바뀐다.

$$\tilde{y}(0) = 3, \quad \tilde{y}'(0) = -1$$

새로운 변수 $\tilde{t}$에 대해 미분방정식을 세우면:

$$\tilde{y}'' + \tilde{y} = 0$$

라플라스 변환을 취하면:

$$\left( s^2 \tilde{Y}(s) - 3s - (-1) \right) + \tilde{Y}(s) = 0$$

$$(s^2 + 1)\tilde{Y}(s) = 3s - 1$$

$$\tilde{Y}(s) = \frac{3s}{s^2 + 1} - \frac{1}{s^2 + 1}$$

역변환을 취하면:

$$\tilde{y}(\tilde{t}) = 3\cos(\tilde{t}) - \sin(\tilde{t})$$

다시 원래 변수 $t = \tilde{t} + \pi$ ($\tilde{t} = t - \pi$)를 대입한다.

$$y(t) = 3\cos(t - \pi) - \sin(t - \pi)$$

삼각함수 음각/주기 공식을 적용하여 정리하면:

$$\cos(t - \pi) = -\cos(t), \quad \sin(t - \pi) = -\sin(t)$$

$$\therefore y(t) = -3\cos(t) + \sin(t)$$

4. 단위 계단함수 (Unit Step Function / Heaviside Function)

상미분방정식을 풀 때 우변의 입력 신호(외력, 전압 등)가 불연속적으로 변하거나 특정 시간 동안만 작동하는 경우, 고전적인 미분방정식 풀이법으로는 구간을 나누어 계산해야 하는 번거로움이 존재한다. 라플라스 변환은 단위 계단함수(Unit Step Function)를 도입함으로써 이러한 불연속 입력 문제를 매우 단순한 대수 연산으로 해결할 수 있게 해준다.

[정의]

$a \ge 0$인 상수 $a$에 대해, 단위 계단함수 $u(t-a)$는 $t < a$일 때 $0$이고, $t > a$일 때 $1$의 값을 갖는 불연속 함수이다. (헤비사이드 함수라고도 부른다).

$$u(t - a) = \begin{cases} 0, & t < a \\ 1, & t > a \end{cases} \quad (a \ge 0)$$

$a = 0$인 특수한 경우에는 $u(t)$로 나타내며, $t = 0$에서 값이 $0$에서 $1$로 점프한다.

단위 계단함수의 라플라스 변환 및 증명

단위 계단함수 $u(t-a)$의 라플라스 변환은 라플라스 변환의 적분 정의를 통해 직접 구한다.

$$\mathcal{L}\{u(t-a)\} = \int_0^\infty e^{-st} u(t-a) \, dt$$

$t < a$ 구간에서는 $u(t-a) = 0$이므로 적분 값이 $0$이 된다. 따라서 적분 구간은 $a$부터 $\infty$까지로 축소된다.

$$\mathcal{L}\{u(t-a)\} = \int_a^\infty e^{-st} \cdot 1 \, dt = \left[ -\frac{e^{-st}}{s} \right]_a^\infty = 0 - \left( -\frac{e^{-as}}{s} \right) = \frac{e^{-as}}{s} \quad (s > 0)$$

$$\therefore \mathcal{L}\{u(t-a)\} = \frac{e^{-as}}{s}$$

신호의 켜짐(On), 꺼짐(Off) 및 이동(Shift) 표현

1. 스위치 On/Off 효과: 어떤 함수 $f(t)$에 $u(t-a)$를 곱하면 $t < a$ 영역은 $0$으로 꺼지고(Off), $t > a$ 영역부터 $f(t)$의 값이 출력된다(On).
2. 평행이동(Shift) 효과: $f(t-a)u(t-a)$ 형태는 함수 $f(t)$의 그래프를 오른쪽($t$-축 방향)으로 $a$만큼 평행이동시킨 모양을 갖는다.
3. 구간별 함수 표현: 구간 $[a, b]$에서만 $1$이고 나머지는 $0$인 사각 파형(Rectangular wave)은 $u(t-a) - u(t-b)$로 합성할 수 있다.

2. 제2 평행이동 정리 (Second Shifting Theorem: $t$-Shifting)

[정리 4]

함수 $f(t)$의 라플라스 변환을 $F(s) = \mathcal{L}{f(t)}$라 하자. $a > 0$일 때, $t$-축 방향으로 $a$만큼 평행이동된 함수 $\tilde{f}(t) = f(t-a)u(t-a)$의 라플라스 변환은 다음과 같다.

$$\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as} F(s)$$

이를 역변환 형태로 쓰면 다음과 같다.$$\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as} F(s)\} = f(t-a)u(t-a)$$

[증명]

우변 $e^{-as} F(s)$에서 $F(s)$의 정의 적분을 대입한다. (변수의 혼동을 피하기 위해 적분 변수로 $v$를 사용하자).

$$e^{-as} F(s) = e^{-as} \int_0^\infty e^{-sv} f(v) \, dv = \int_0^\infty e^{-s(v+a)} f(v) \, dv$$

여기서 $t = v + a$로 치환한다 ($v = t - a$, $dv = dt$). $v = 0$일 때 $t = a$이고, $v = \infty$일 때 $t = \infty$가 되므로 적분 구간이 바뀐다.

$$e^{-as} F(s) = \int_a^\infty e^{-st} f(t-a) \, dt$$

이 적분식을 $0$부터 $\infty$까지의 적분으로 확장하기 위해 피적분함수에 $u(t-a)$를 곱한다. $t < a$에서는 $u(t-a) = 0$이므로 적분 값에 영향을 주지 않는다.

$$e^{-as} F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t-a)u(t-a) \, dt = \mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}$$

이로써 증명이 완료된다.

유용한 변환 공식 ($t$-Shifting의 대체 형태)

실제 계산에서는 $f(t-a)$ 형태로 묶기보다 $g(t)u(t-a)$ 형태를 직접 변환해야 하는 경우가 많다. $g(t) = f(t-a)$로 두면 $f(t) = g(t+a)$가 되므로 다음 공식이 성립한다.

$$\mathcal{L}\{g(t)u(t-a)\} = e^{-as} \mathcal{L}\{g(t+a)\}$$

[예제 3]구간별로 정의된 불연속 함수의 라플라스 변환

다음 구간별 함수 $f(t)$를 단위 계단함수로 표현하고, 라플라스 변환을 구하여라.$$f(t) = \begin{cases} 3, & 0 < t < 2 \\ t^2, & 2 < t < \pi \\ \sin t, & t > \pi \end{cases}$$

[풀이] 단위 계단함수로 $f(t)$ 표현하기 구간 스위치를 이용하여 나타낸다.

$$f(t) = 3[1 - u(t-2)] + t^2 [u(t-2) - u(t-\pi)] + \sin t \cdot u(t-\pi)$$

$$f(t) = 3 + (t^2 - 3)u(t-2) + (\sin t - t^2)u(t-\pi)$$

공식 $\mathcal{L}{g(t)u(t-a)} = e^{-as} \mathcal{L}{g(t+a)}$를 적용한다.

첫 번째 항: $\mathcal{L}\{3\} = \frac{3}{s}$

두 번째 항: $\mathcal{L}\{(t^2 - 3)u(t-2)\} = e^{-2s} \mathcal{L}\{(t+2)^2 - 3\} = e^{-2s} \mathcal{L}\{t^2 + 4t + 1\}$

$$= e^{-2s} \left( \frac{2}{s^3} + \frac{4}{s^2} + \frac{1}{s} \right)$$

 

세 번째 항: $\mathcal{L}\{(\sin t - t^2)u(t-\pi)\} = e^{-\pi s} \mathcal{L}\{\sin(t+\pi) - (t+\pi)^2\}$

삼각함수 성질 $\sin(t+\pi) = -\sin t$를 대입한다.

$$= e^{-\pi s} \mathcal{L}\{-\sin t - t^2 - 2\pi t - \pi^2\} = e^{-\pi s} \left( -\frac{1}{s^2 + 1} - \frac{2}{s^3} - \frac{2\pi}{s^2} - \frac{\pi^2}{s} \right)$$

최종 결과:

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{3}{s} + e^{-2s}\left( \frac{2}{s^3} + \frac{4}{s^2} + \frac{1}{s} \right) - e^{-\pi s}\left( \frac{1}{s^2 + 1} + \frac{2}{s^3} + \frac{2\pi}{s^2} + \frac{\pi^2}{s} \right)$$

 

[예제 4] 제2 평행이동 정리를 이용한 역변환

다음 $F(s)$의 역변환 $f(t) = \mathcal{L}^{-1}{F(s)}$를 구하여라.$$F(s) = \frac{e^{-s}}{s^2 + 4} + \frac{s e^{-2s}}{s^2 + 4} + \frac{e^{-4s}}{(s + 3)^2}$$

[풀이]지수함수 $e^{-as}$를 제외한 각 기본항의 역변환을 먼저 구한다.

• $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + 4}\right\} = \frac{1}{2}\sin(2t)$
• $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2 + 4}\right\} = \cos(2t)$
• 제1 평행이동 정리에 의해 $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+3)^2}\right\} = t e^{-3t}$

이제 제2 평행이동 정리 $\mathcal{L}^{-1}{e^{-as}F(s)} = f(t-a)u(t-a)$를 적용한다.

$$f(t) = \frac{1}{2}\sin(2(t-1))u(t-1) + \cos(2(t-2))u(t-2) + (t-4)e^{-3(t-4)}u(t-4)$$

 

[예제 5] 단일 사각파 전압을 받는 $RC$ 회로 응답

저항 $R = 10 \, \Omega$, 축전기 $C = 0.1 , \text{F}$가 직렬로 연결된 회로에 다음과 같은 단일 사각파 전압 $v(t)$가 인가된다. 초기 전류 $i(0) = 0$일 때, 회로에 흐르는 전류 $i(t)$를 구하여라.$$v(t) = 100[u(t-1) - u(t-3)]$$

[풀이] $RC$ 회로의 적분미분방정식 모델은 다음과 같다.

$$R i(t) + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) \, d\tau = v(t)$$

수치를 대입한다 ($R=10, \, 1/C = 10$).

$$10 i(t) + 10 \int_0^t i(\tau) \, d\tau = 100[u(t-1) - u(t-3)]$$

양변을 $10$으로 나누고 라플라스 변환을 취한다.

$$I(s) + \frac{1}{s}I(s) = \frac{10}{s}\left( e^{-s} - e^{-3s} \right)$$

$$\left( \frac{s + 1}{s} \right) I(s) = \frac{10}{s}\left( e^{-s} - e^{-3s} \right)$$

$$I(s) = \frac{10}{s + 1} \left( e^{-s} - e^{-3s} \right)$$

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10}{s+1}\right\} = 10 e^{-t}$ 이므로, 역변환을 취하면 다음과 같다.

$$i(t) = 10 e^{-(t-1)} u(t-1) - 10 e^{-(t-3)} u(t-3)$$

구간별로 풀어 쓰면 다음과 같다.

• $0 < t < 1$: $i(t) = 0$
• $1 < t < 3$: $i(t) = 10 e^{-(t-1)}$
• $t > 3$: $i(t) = 10 e^{-(t-1)} - 10 e^{-(t-3)} = 10(e - 1)e^{-t}$

[예제 6] 교류 전압 스위칭에 따른 $RLC$ 회로 응답

$R = 20 \, \Omega$, $L = 1 \, \text{H}$, $C = 0.01 , \text{F}$인 $RLC$ 직렬 회로에 $0 < t < \pi$ 동안 $v(t) = 200 \sin(10t)$의 전압이 가해지고, $t > \pi$ 이후에는 전압이 차단된다. 초기 전류와 초기 전하는 모두 $0$이다 ($i(0) = 0, \, q(0) = 0$). 전류 $i(t)$를 구하여라.

[풀이] 인가 전압은 $v(t) = 200 \sin(10t)[1 - u(t-\pi)]$로 표현된다. $\sin(10t)$는 주기가 $\pi/5$이므로 $\sin(10(t-\pi)) = \sin(10t - 10\pi) = \sin(10t)$ 성질을 이용하면,

$$v(t) = 200 \sin(10t) - 200 \sin(10(t-\pi))u(t-\pi)$$

$RLC$ 회로의 방정식을 세운다.

$$L i'(t) + R i(t) + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) \, d\tau = v(t)$$

계수를 대입한다 ($L=1, R=20, 1/C=100$).

$$i'(t) + 20 i(t) + 100 \int_0^t i(\tau) \, d\tau = 200 \sin(10t) - 200 \sin(10(t-\pi))u(t-\pi)$$

라플라스 변환을 취한다.

$$\left( s + 20 + \frac{100}{s} \right) I(s) = \frac{2000}{s^2 + 100} (1 - e^{-\pi s})$$

$$\frac{s^2 + 20s + 100}{s} I(s) = \frac{(s+10)^2}{s} I(s) = \frac{2000}{s^2 + 100} (1 - e^{-\pi s})$$

$$I(s) = \frac{2000 s}{(s+10)^2 (s^2 + 100)} (1 - e^{-\pi s})$$

부분분수 분해를 수행한다.

$$\frac{2000 s}{(s+10)^2 (s^2 + 100)} = \frac{A}{s+10} + \frac{B}{(s+10)^2} + \frac{Cs + D}{s^2 + 100}$$

계수를 비교하여 구하면 다음과 같이 정리된다.

$$A = 0, \quad B = -100, \quad C = 0, \quad D = 100$$

따라서 기본 형태 $I_0(s)$는 다음과 같다.

$$I_0(s) = -\frac{100}{(s+10)^2} + \frac{100}{s^2 + 100}$$

역변환 $i_0(t)$를 구한다.

$$i_0(t) = -100 t e^{-10t} + 10 \sin(10t)$$

제2 평행이동 정리를 적용하여 전체 전류 $i(t)$를 완성한다.

$$i(t) = i_0(t) - i_0(t-\pi)u(t-\pi)$$

$$i(t) = \left( -100 t e^{-10t} + 10 \sin(10t) \right) - \left( -100 (t-\pi) e^{-10(t-\pi)} + 10 \sin(10(t-\pi)) \right) u(t-\pi)$$

$\sin(10(t-\pi)) = \sin(10t)$이므로, $t > \pi$일 때 삼각함수 항은 상쇄되고 감쇠 지수 항만 남아 전류가 급격히 $0$으로 수렴함을 확인할 수 있다.

 

[핵심 공식 요약]

도함수의 라플라스 변환 (Transform of Derivatives)

• 1계: $\mathcal{L}\{f'\} = s\mathcal{L}\{f\} - f(0)$
• 2계: $\mathcal{L}\{f''\} = s^2\mathcal{L}\{f\} - sf(0) - f'(0)$
• $n$계: $\mathcal{L}\{f^{(n)}\} = s^n\mathcal{L}\{f\} - s^{n-1}f(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$

적분의 라플라스 변환 (Transform of Integrals)

• 정적분 변환: $\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)d\tau\right\} = \frac{1}{s}F(s)$
• 역변환: $\int_0^t f(\tau)d\tau = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}F(s)\right\}$

단위 계단함수 & 제2 평행이동 정리 ($t$-Shifting)

• 계단함수 변환: $\mathcal{L}\{u(t-a)\} = \frac{e^{-as}}{s}$
• 제2 평행이동: $\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)$
• 실전 공식: $\mathcal{L}\{g(t)u(t-a)\} = e^{-as}\mathcal{L}\{g(t+a)\}$

필수 기본 라플라스 변환 쌍 (Basic Transforms)

• $\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}$, $\mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}$, $\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}$
• $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$
• $\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$, $\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2+\omega^2}$
• $\mathcal{L}\{\sinh(at)\} = \frac{a}{s^2-a^2}$, $\mathcal{L}\{\cosh(at)\} = \frac{s}{s^2-a^2}$

 

 

★6-2. 도함수·적분의 라플라스 변환 및 단위 계단함수(제2 평행이동) 11문제와 풀이법