6-3. 라플라스 변환: 디랙 델타 함수, 부분분수, 합성곱(Convolution)과 응용

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★ 본문의 더보기는 증명또는 풀이입니다.

 

1. 디랙 델타 함수 (Dirac Delta Function) 및 단위 충격 (Unit Impulse) 

(1) 개념 및 정의

짧은 시간 구간 동안 작용하는 매우 큰 힘(예: 망치질, 매우 짧은 전압 펄스 등)을 모델링하기 위해 먼저 폭이 $k>0$이고 높이가 $1/k$인 직사각형 함수 $f_k(t-a)$를 정의한다.

$$f_k(t-a) = \begin{cases} \frac{1}{k}, & a \le t \le a+k \\ 0, & \text{그외} \end{cases}$$

이 함수의 총 적분값(충격량, Impulse)은 다음과 같이 $1$로 일정하다.

$$\int_{0}^{\infty} f_k(t-a) \, dt = \int_{a}^{a+k} \frac{1}{k} \, dt = 1$$

여기서 $k \to 0$ 극한을 취하면 디랙 델타 함수(Dirac Delta Function) 또는 단위 충격 함수(Unit Impulse Function) $\delta(t-a)$를 얻는다.

$$\delta(t-a) = \lim_{k \to 0} f_k(t-a)$$

성질:

$$\delta(t-a) = \begin{cases} \infty, & t = a \\ 0, & t \neq a \end{cases} \quad \text{and} \quad \int_{0}^{\infty} \delta(t-a) \, dt = 1$$

 

(2) 선별 성질 (Sifting Property)

연속함수 $g(t)$에 대하여 디랙 델타 함수와의 적분은 다음과 같은 선별 성질을 가진다.

$$\int_{0}^{\infty} g(t)\delta(t-a) \, dt = g(a)$$

(3) 디랙 델타 함수의 라플라스 변환

[정리] $\delta(t-a)$의 라플라스 변환은 $e^{-as}$이다.$$\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}$$

[증명] $f_k(t-a)$는 단위 계단 함수(Heaviside step function) $u(t)$를 이용해 표현할 수 있다.$$f_k(t-a) = \frac{1}{k} [u(t-a) - u(t-(a+k))]$$

라플라스 변환의 선형성과 이동 정리를 적용한다.$$\mathcal{L}\{f_k(t-a)\} = \frac{1}{k} \left[ \frac{e^{-as}}{s} - \frac{e^{-(a+k)s}}{s} \right] = e^{-as} \frac{1 - e^{-ks}}{ks}$$

이제 $k \to 0$으로 극한을 보낸다. 로피탈 정리(L'Hôpital's rule)를 $k$에 대해 적용하면:$$\lim_{k \to 0} \frac{1 - e^{-ks}}{ks} = \lim_{k \to 0} \frac{s e^{-ks}}{s} = 1$$

따라서,$$\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = \lim_{k \to 0} \mathcal{L}\{f_k(t-a)\} = e^{-as} \cdot 1 = e^{-as}$$

2. 부분분수 전개 (Partial Fraction Expansion)

상미분방정식을 라플라스 변환하면 $Y(s) = F(s)/G(s)$ 형태의 분수식 보조방정식을 얻게 된다. 역변환을 용이하게 하기 위해 $Y(s)$를 부분분수로 전개한다.

1. 서로 다른 실근 $(s-a)$: $\frac{A}{s-a} \implies \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A}{s-a}\right\} = A e^{at}$
2. 중복 실근 $(s-a)^n$: $\frac{A_1}{s-a} + \frac{A_2}{(s-a)^2} + \dots + \frac{A_n}{(s-a)^n}$
3. 서로 다른 복소켤레근 $(s-\alpha)^2 + \beta^2$: $\frac{As+B}{(s-\alpha)^2 + \beta^2}$

3. 합성곱 (Convolution)

(1) 정의

두 함수 $f(t)$와 $g(t)$의 합성곱(Convolution) $h(t) = (f * g)(t)$는 다음과 같이 정의된다.

$$h(t) = (f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) \, d\tau$$

(2) 합성곱 정리 (Convolution Theorem)

[정리] 두 함수 $f(t), g(t)$의 라플라스 변환이 각각 $F(s), G(s)$로 존재하면, 두 변환의 곱 $F(s)G(s)$의 라플라스 역변환은 $f(t)$와 $g(t)$의 합성곱과 같다.$$\mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = F(s)G(s) \quad \iff \quad \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = (f * g)(t)$$

[증명] $F(s)$와 $G(s)$의 정의에 따라,

$$F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-s\tau} f(\tau) \, d\tau, \quad G(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-sp} g(p) \, dp$$

$p = t - \tau$ 로 치환하면 ($t$는 $\tau$부터 $\infty$까지 변함),

$$G(s) = \int_{\tau}^{\infty} e^{-s(t-\tau)} g(t-\tau) \, dt = e^{s\tau} \int_{\tau}^{\infty} e^{-st} g(t-\tau) \, dt$$

$G(s)$ 식을 $F(s)$ 적분 안에 대입한다.

$$F(s)G(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-s\tau} f(\tau) \left[ e^{s\tau} \int_{\tau}^{\infty} e^{-st} g(t-\tau) \, dt \right] d\tau = \int_{0}^{\infty} f(\tau) \left[ \int_{\tau}^{\infty} e^{-st} g(t-\tau) \, dt \right] d\tau$$

적분 영역은 $t\tau$-평면에서 $0 \le \tau \le t < \infty$ 인 영역이다. 적분 순서를 바꿔 $t$에 대해 먼저 적분하고 $\tau$에 대해 적분하면:

$$F(s)G(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \left[ \int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) \, d\tau \right] dt$$

안쪽 적분은 합성곱 $(f * g)(t) = h(t)$의 정의이므로,

$$F(s)G(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} h(t) \, dt = \mathcal{L}\{h(t)\}$$

(3) 합성곱의 주요 대수적 성질

1. 교환법칙: $f * g = g * f$
2. 분배법칙: $f * (g_1 + g_2) = f * g_1 + f * g_2$
3. 결합법칙: $(f * g) * v = f * (g * v)$
4. 영원소: $f * 0 = 0$

주의: 실수 곱셈과 달리 일반적인 함수에 대해 $f * 1 \neq f$ 이며, $(f * f)(t) \ge 0$ 이 항상 성립하지는 않는다.

 

4. 비동차 선형 ODE에의 응용 (전달함수)

초기 조건 $y(0)=0, y'(0)=0$을 갖는 2계 비동차 선형 미분방정식 $y'' + ay' + by = r(t)$의 라플라스 변환은 다음과 같다.

$$(s^2 + as + b)Y(s) = R(s) \implies Y(s) = Q(s)R(s)$$

여기서 $Q(s) = \frac{1}{s^2 + as + b}$를 전달함수(Transfer Function)라 하고, $q(t) = \mathcal{L}^{-1}{Q(s)}$를 임펄스 응답(Impulse Response)이라 한다. 합성곱 정리에 의해 해 $y(t)$는 입력 $r(t)$와 임펄스 응답 $q(t)$의 적분 형태로 구해진다.

$$y(t) = (q * r)(t) = \int_{0}^{t} q(t-\tau) r(\tau) \, d\tau$$

[예제 1] 사각 펄스 입력이 가해진 질량-용수철계

다음 초기값 문제를 라플라스 변환과 부분분수 전개를 이용해 풀어라.$$y'' + 4y' + 3y = r(t), \quad y(0)=0, \, y'(0)=0$$

$$\text{단, } r(t) = u(t-2) - u(t-4)$$

[풀이]양변에 라플라스 변환을 취한다. $r(t)$의 라플라스 변환은 $R(s) = \frac{e^{-2s} - e^{-4s}}{s}$ 이다.

$$(s^2 + 4s + 3)Y(s) = \frac{e^{-2s} - e^{-4s}}{s}$$

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)(s+3)} (e^{-2s} - e^{-4s})$$

$F(s) = \frac{1}{s(s+1)(s+3)}$ 라 두고 부분분수로 전개한다.

$$\frac{1}{s(s+1)(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s+3}$$

• $A = \left. \frac{1}{(s+1)(s+3)} \right\vert{}_{s=0} = \frac{1}{3}$
• $B = \left. \frac{1}{s(s+3)} \right\vert{}_{s=-1} = -\frac{1}{2}$
• $C = \left. \frac{1}{s(s+1)} \right\vert{}_{s=-3} = \frac{1}{6}$

$$F(s) = \frac{1/3}{s} - \frac{1/2}{s+1} + \frac{1/6}{s+3}$$

이를 역변환하여 $f(t) = \mathcal{L}^{-1}{F(s)}$를 구한다.

$$f(t) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}e^{-t} + \frac{1}{6}e^{-3t}$$

이동 정리에 의해 최종 해 $y(t) = f(t-2)u(t-2) - f(t-4)u(t-4)$ 이다.

$$y(t) = \begin{cases} 0, & 0 < t < 2 \\ \frac{1}{3} - \frac{1}{2}e^{-(t-2)} + \frac{1}{6}e^{-3(t-2)}, & 2 < t < 4 \\ -\frac{1}{2}e^{-(t-2)} + \frac{1}{6}e^{-3(t-2)} + \frac{1}{2}e^{-(t-4)} - \frac{1}{6}e^{-3(t-4)}, & t > 4 \end{cases}$$

 

[예제 2] 단위 충격 입력이 가해진 시스템

 다음 초기값 문제를 디랙 델타 함수를 이용하여 풀어라.$$y'' + 4y' + 3y = \delta(t-2), \quad y(0)=0, \, y'(0)=0$$

[풀이] 양변에 라플라스 변환을 취한다.

$$(s^2 + 4s + 3)Y(s) = e^{-2s}$$

$$Y(s) = \frac{e^{-2s}}{(s+1)(s+3)}$$

$\frac{1}{(s+1)(s+3)}$을 부분분수 전개한다.

$$\frac{1}{(s+1)(s+3)} = \frac{1/2}{s+1} - \frac{1/2}{s+3}$$

역변환하면 $g(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)(s+3)}\right\} = \frac{1}{2}e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-3t}$ 이다. 이동 정리를 적용하면:

$$y(t) = g(t-2)u(t-2) = \begin{cases} 0, & 0 < t < 2 \\ \frac{1}{2}e^{-(t-2)} - \frac{1}{2}e^{-3(t-2)}, & t > 2 \end{cases}$$

 

[예제 3] 복소켤레근 분모를 가진 감쇠 강제 진동

다음 미분방정식의 해를 구하여라.

$$y'' + 2y' + 5y = r(t), \quad y(0)=0, \, y'(0)=0$$

$$\text{단, } r(t) = 10\cos t \quad (0 < t < \pi \text{ 일 때}), \quad r(t) = 0 \quad (t > \pi \text{ 일 때})$$

[풀이] 우변의 $r(t)$는 계단함수를 이용해 $r(t) = 10\cos t [1 - u(t-\pi)] = 10\cos t + 10\cos(t-\pi)u(t-\pi)$ 로 표현할 수 있다. 양변을 라플라스 변환한다.

$$(s^2 + 2s + 5)Y(s) = \frac{10s}{s^2 + 1} (1 + e^{-\pi s})$$

$$Y(s) = \frac{10s}{(s^2 + 1)(s^2 + 2s + 5)} (1 + e^{-\pi s})$$

첫 번째 항 $F(s) = \frac{10s}{(s^2 + 1)(s^2 + 2s + 5)}$를 부분분수 전개한다.

$$\frac{10s}{(s^2 + 1)(s^2 + 2s + 5)} = \frac{As+B}{s^2 + 1} + \frac{Cs+D}{s^2 + 2s + 5}$$

양변에 분모를 곱해 계수를 비교한다.

$$10s = (As+B)(s^2 + 2s + 5) + (Cs+D)(s^2 + 1)$$

• $s^3$ 계수: $A + C = 0 \implies C = -A$
• $s^2$ 계수: $2A + B + D = 0$
• $s$ 계수: $5A + 2B + C = 10 \implies 4A + 2B = 10$
• 상수항: $5B + D = 0 \implies D = -5B$

계산하면 $A = 1, B = 3, C = -1, D = -15$ 가 아니고, 정확한 값을 연립하여 구하면:

$2A + B - 5B = 0 \implies 2A - 4B = 0 \implies A = 2B$

$4(2B) + 2B = 10 \implies 10B = 10 \implies B = 1, A = 2$

따라서 $C = -2, D = -5$ 이다.

$$F(s) = \frac{2s+1}{s^2+1} + \frac{-2s-5}{(s+1)^2 + 2^2}$$

$$= 2\frac{s}{s^2+1} + \frac{1}{s^2+1} - 2\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2} - \frac{3}{2}\frac{2}{(s+1)^2+2^2}$$

이를 역변환하면:

$$f(t) = 2\cos t + \sin t - e^{-t} \left( 2\cos 2t + \frac{3}{2}\sin 2t \right)$$

최종 해 $y(t) = f(t) + f(t-\pi)u(t-\pi)$ 형태로 구한다.

[예제 4] 합성곱 정리의 직접 계산 

합성곱 정리를 사용하여 다음 함수의 라플라스 역변환 $h(t)$를 구하여라.$$H(s) = \frac{1}{(s-2)(s-5)}$$

[풀이] $F(s) = \frac{1}{s-2}$, $G(s) = \frac{1}{s-5}$ 라 두면, 각 역변환은 $f(t) = e^{2t}$, $g(t) = e^{5t}$ 이다. 합성곱 정의에 의해:

$$h(t) = (f * g)(t) = \int_{0}^{t} e^{2\tau} e^{5(t-\tau)} \, d\tau = e^{5t} \int_{0}^{t} e^{-3\tau} \, d\tau$$

$$= e^{5t} \left[ -\frac{1}{3} e^{-3\tau} \right]_{0}^{t} = e^{5t} \left( -\frac{1}{3} e^{-3t} + \frac{1}{3} \right) = \frac{e^{5t} - e^{2t}}{3}$$

 

[예제 5] 합성곱을 이용한 비동차 ODE 해 구하기

합성곱을 이용하여 다음 미분방정식의 해를 적분 형태로 표현하고 계산하여라.$$y'' + 3y' + 2y = r(t), \quad y(0)=0, \, y'(0)=0$$

$$\text{단, } r(t) = 1 \quad (2 < t < 5 \text{ 일 때}), \quad 0 \quad (\text{그 외})$$

[풀이] 전달함수 $Q(s)$는 다음과 같다.

$$Q(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} = \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}$$

임펄스 응답 $q(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Q(s)\} = e^{-t} - e^{-2t}$ 이다. 해 $y(t)$는 합성곱 적분으로 주어진다.

$$y(t) = \int_{0}^{t} q(t-\tau) r(\tau) \, d\tau$$

$r(\tau)$의 구간에 따라 적분을 계산한다.

$t < 2$ 일 때: $y(t) = 0$

$2 < t < 5$ 일 때:

$$y(t) = \int_{2}^{t} (e^{-(t-\tau)} - e^{-2(t-\tau)}) \, d\tau$$

$$= \left[ e^{-(t-\tau)} - \frac{1}{2} e^{-2(t-\tau)} \right]_{2}^{t} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) - \left(e^{-(t-2)} - \frac{1}{2}e^{-2(t-2)}\right)$$

$$= \frac{1}{2} - e^{-(t-2)} + \frac{1}{2} e^{-2(t-2)}$$

$t > 5$ 일 때:

$$y(t) = \int_{2}^{5} (e^{-(t-\tau)} - e^{-2(t-\tau)}) \, d\tau$$

$$= \left[ e^{-(t-\tau)} - \frac{1}{2} e^{-2(t-\tau)} \right]_{2}^{5}$$

$$= \left( e^{-(t-5)} - \frac{1}{2} e^{-2(t-5)} \right) - \left( e^{-(t-2)} - \frac{1}{2} e^{-2(t-2)} \right)$$

6. 적분방정식 (Integral Equations)과 제2종 볼테라 적분방정식

구하고자 하는 미지함수 $y(t)$가 적분 기호 내부에 포함되어 있는 방정식을 적분방정식(Integral Equation)이라 한다. 특히 적분 구간의 상한이 변수 $t$이고 다음과 같이 합성곱(Convolution) 형태를 띠는 적분방정식을 제2종 볼테라 적분방정식(Volterra Integral Equation of the Second Kind)이라 부른다.

$$y(t) - \int_{0}^{t} y(\tau)g(t-\tau) \, d\tau = f(t) \quad \iff \quad y(t) - (y * g)(t) = f(t)$$

이러한 형태의 적분방정식은 라플라스 변환과 합성곱 정리를 적용하면 대수방정식으로 변환되므로 매우 쉽게 해를 구할 수 있다.

 

[예제 6] 제2종 볼테라 적분방정식 (삼각함수 커널)

다음 볼테라 적분방정식을 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.$$y(t) - \int_{0}^{t} y(\tau) \cos(t-\tau) \, d\tau = t^2$$

[풀이] 적분항은 $y(t)$와 $\cos t$의 합성곱 $y * \cos t$로 표현된다. 양변에 라플라스 변환을 취하고 합성곱 정리를 적용한다. $Y(s) = \mathcal{L}{y(t)}$라 두면:

$$Y(s) - Y(s) \cdot \frac{s}{s^2 + 1} = \frac{2}{s^3}$$

좌변을 $Y(s)$로 묶어 정리한다.

$$Y(s) \left( 1 - \frac{s}{s^2 + 1} \right) = \frac{2}{s^3}$$

$$Y(s) \left( \frac{s^2 - s + 1}{s^2 + 1} \right) = \frac{2}{s^3}$$

$Y(s)$에 대해 푼다.

$$Y(s) = \frac{2(s^2 + 1)}{s^3 (s^2 - s + 1)} = \frac{2s^2 + 2}{s^3(s^2 - s + 1)}$$

부분분수로 전개하기 위해 다음과 같이 둔다.

$$\frac{2s^2 + 2}{s^3(s^2 - s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s^3} + \frac{Ds + E}{s^2 - s + 1}$$

양변에 $s^3(s^2 - s + 1)$을 곱하여 계수를 비교한다.

$$2s^2 + 2 = A s^2(s^2 - s + 1) + B s(s^2 - s + 1) + C(s^2 - s + 1) + (Ds + E)s^3$$

$$2s^2 + 2 = (A + D)s^4 + (-A + B + E)s^3 + (A - B + C)s^2 + (-B - C)s + C$$

계수 비교:

1. $s^0$ (상수항): $C = 2$
2. $s^1$ 계수: $-B - C = 0 \implies B = -C = -2$
3. $s^2$ 계수: $A - B + C = 2 \implies A - (-2) + 2 = 2 \implies A = -2$
4. $s^4$ 계수: $A + D = 0 \implies D = -A = 2$
5. $s^3$ 계수: $-A + B + E = 0 \implies -(-2) + (-2) + E = 0 \implies E = 0$

따라서 $Y(s)$는 다음과 같이 전개된다.

$$Y(s) = -\frac{2}{s} - \frac{2}{s^2} + \frac{2}{s^3} + \frac{2s}{\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}}$$

우변의 마지막 항을 변형한다.

$$\frac{2s}{\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}} = 2 \cdot \frac{s - \frac{1}{2}}{\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$$

라플라스 역변환을 취하여 최종 해 $y(t)$를 구한다.

$$y(t) = -2 - 2t + t^2 + 2e^{\frac{1}{2}t}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) + \frac{2}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{2}t}\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)$$

[예제 7] 제2종 볼테라 적분방정식 (다항식 커널과 쌍곡선 함수)

다음 적분방정식을 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.$$y(t) - \int_{0}^{t} (1 + 2\tau)y(t-\tau) \, d\tau = 1 - \cosh t$$

[풀이] 좌변의 적분항은 $(1 + 2t) * y(t)$ 의 합성곱이다. 양변에 라플라스 변환을 취한다. $\mathcal{L}\{1 + 2t\} = \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2}$, $\mathcal{L}\{1 - \cosh t\} = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 - 1}$ 이므로:

$$Y(s) \left[ 1 - \left( \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2} \right) \right] = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 - 1}$$

좌변 괄호 안의 식을 통분하여 정리한다.

$$1 - \left( \frac{s+2}{s^2} \right) = \frac{s^2 - s - 2}{s^2} = \frac{(s-2)(s+1)}{s^2}$$

우변을 통분하여 정리한다.

$$\frac{(s^2 - 1) - s^2}{s(s^2 - 1)} = \frac{-1}{s(s^2 - 1)} = \frac{-1}{s(s-1)(s+1)}$$

따라서 방정식은 다음과 같이 작성된다.

$$Y(s) \cdot \frac{(s-2)(s+1)}{s^2} = \frac{-1}{s(s-1)(s+1)}$$

양변에서 $(s+1)$ 항을 정리하고 $Y(s)$에 대해 푼다.

$$Y(s) = \frac{-s}{(s-1)(s+1)(s-2)}$$

부분분수로 전개한다.

$$\frac{-s}{(s-1)(s+1)(s-2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s-2}$$

• $A = \left. \frac{-s}{(s+1)(s-2)} \right\vert{}_{s=1} = \frac{-1}{(2)(-1)} = \frac{1}{2}$
• $B = \left. \frac{-s}{(s-1)(s-2)} \right\vert{}_{s=-1} = \frac{1}{(-2)(-3)} = \frac{1}{6}$
• $C = \left. \frac{-s}{(s-1)(s+1)} \right\vert{}_{s=2} = \frac{-2}{(1)(3)} = -\frac{2}{3}$

$$Y(s) = \frac{1/2}{s-1} + \frac{1/6}{s+1} - \frac{2/3}{s-2}$$

라플라스 역변환을 적용하여 해 $y(t)$를 구한다.

$$y(t) = \frac{1}{2} e^t + \frac{1}{6} e^{-t} - \frac{2}{3} e^{2t}$$

 

7. 적분미분방정식 (Integro-Differential Equation)

적분방정식에 미분항($y'(t)$ 또는 $y''(t)$)과 초기조건이 함께 포함된 형태로, RLC 전기 회로 분석이나 응용물리학에서 빈번하게 등장한다.

미지함수 $y(t)$의 미분값과 적분값이 한 방정식 안에 공존하는 형태다.

$$\frac{dy}{dt} + a y(t) + b \int_{0}^{t} y(\tau)g(t-\tau) \, d\tau = f(t), \quad y(0) = y_0$$

라플라스 변환의 도함수 성질 $\mathcal{L}{y'(t)} = sY(s) - y(0)$와 합성곱 정리를 동시에 적용하여 해결한다.

 

[예제 8] 적분미분방정식 풀이

다음 초기값 문제를 풀어라.$$y'(t) + 4y(t) + 5\int_{0}^{t} y(\tau) \, d\tau = 1, \quad y(0) = 0$$

[풀이]

적분항은 $y(t) * 1$의 합성곱이고, $\mathcal{L}{1} = \frac{1}{s}$이다.

양변에 라플라스 변환을 취한다.

$$[sY(s) - y(0)] + 4Y(s) + 5 \cdot Y(s)\frac{1}{s} = \frac{1}{s}$$

$y(0) = 0$을 대입하고 $Y(s)$로 묶어 정리한다.

$$Y(s) \left( s + 4 + \frac{5}{s} \right) = \frac{1}{s}$$

$$Y(s) \left( \frac{s^2 + 4s + 5}{s} \right) = \frac{1}{s}$$

양변에 $\frac{s}{s^2 + 4s + 5}$를 곱한다.

$$Y(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 5} = \frac{1}{(s+2)^2 + 1}$$

라플라스 역변환(제1 이동 정리)을 적용한다.

$$y(t) = e^{-2t} \sin t$$

 

8. 아벨의 적분방정식 (Abel's Integral Equation)과 특이적분

합성곱 정리의 대표적인 고전적 응용 사례로, 물리학의 등시곡선(Tautochrone) 문제에서 유래한 특이적분방정식이다.

적분핵(Kernel)이 $(t-\tau)^{-\alpha}$ ($0 < \alpha < 1$) 형태의 특이점(Singularity)을 가지는 적분방정식이다.

$$f(t) = \int_{0}^{t} \frac{y(\tau)}{(t-\tau)^\alpha} \, d\tau \quad (0 < \alpha < 1)$$

가장 흔한 형태인 $\alpha = \frac{1}{2}$일 때, 우변은 $y(t) * t^{-1/2}$ 형태의 합성곱이 된다.

$\mathcal{L}\{t^{-1/2}\} = \frac{\Gamma(1/2)}{s^{1/2}} = \sqrt{\frac{\pi}{s}}$ 임을 이용하여 라플라스 변환으로 명쾌하게 풀린다.

 

[예제 9] 아벨 적분방정식

다음 아벨 적분방정식을 풀어라.$$\int_{0}^{t} \frac{y(\tau)}{\sqrt{t-\tau}} \, d\tau = \sqrt{t}$$

[풀이]

좌변은 $y(t) * t^{-1/2}$ 이다. 양변에 라플라스 변환을 취한다.

$$\mathcal{L}\{y(t)\} \cdot \mathcal{L}\{t^{-1/2}\} = \mathcal{L}\{t^{1/2}\}$$

감마함수 공식 $\mathcal{L}{t^p} = \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}$를 적용한다.

• $\mathcal{L}\{t^{-1/2}\} = \frac{\Gamma(1/2)}{s^{1/2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{s}}$
• $\mathcal{L}\{t^{1/2}\} = \frac{\Gamma(3/2)}{s^{3/2}} = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{s^{3/2}}$

대입하여 정리한다.

$$Y(s) \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{s}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2 s^{3/2}}$$

$Y(s)$에 대해 푼다.

$$Y(s) = \frac{\sqrt{\pi}}{2 s^{3/2}} \cdot \frac{\sqrt{s}}{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{2s}$$

역변환을 취한다.

$$y(t) = \frac{1}{2}$$

 

9. 연립 적분방정식 (System of Integral Equations)

두 개 이상의 미지함수가 서로 얽혀 있는 연립 볼테라 적분방정식 형태다.

 

[예제 10] 연립 볼테라 적분방정식

다음 연립 적분방정식을 풀어라.$$y_1(t) = 1 - \int_{0}^{t} y_2(\tau) \, d\tau$$$$y_2(t) = t + \int_{0}^{t} y_1(\tau) \, d\tau$$

[풀이]

$Y_1(s) = \mathcal{L}\{y_1(t)\}$, $Y_2(s) = \mathcal{L}{y_2(t)}$라 두고 양변을 라플라스 변환한다.

$$Y_1(s) = \frac{1}{s} - \frac{Y_2(s)}{s}$$

$$Y_2(s) = \frac{1}{s^2} + \frac{Y_1(s)}{s}$$

첫 번째 식을 두 번째 식에 대입한다.

$$Y_2(s) = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s}\left( \frac{1}{s} - \frac{Y_2(s)}{s} \right) = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s^2} - \frac{Y_2(s)}{s^2} = \frac{2}{s^2} - \frac{Y_2(s)}{s^2}$$

$Y_2(s)$항을 좌변으로 넘겨 정리한다.

$$Y_2(s) \left( 1 + \frac{1}{s^2} \right) = \frac{2}{s^2} \implies Y_2(s) \left( \frac{s^2 + 1}{s^2} \right) = \frac{2}{s^2}$$

$$Y_2(s) = \frac{2}{s^2 + 1}$$

이를 $Y_1(s)$ 식에 대입한다.

$$Y_1(s) = \frac{1}{s} - \frac{2}{s(s^2 + 1)} = \frac{(s^2 + 1) - 2}{s(s^2 + 1)} = \frac{s^2 - 1}{s(s^2 + 1)} = \frac{s}{s^2 + 1} - \frac{1}{s(s^2 + 1)}$$

부분분수 전개를 적용하면 $\frac{1}{s(s^2 + 1)} = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + 1}$ 이므로,

$$Y_1(s) = \frac{s}{s^2 + 1} - \left( \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + 1} \right) = \frac{2s}{s^2 + 1} - \frac{1}{s}$$

역변환을 취하여 최종 해를 구한다.

$$y_1(t) = 2\cos t - 1$$

$$y_2(t) = 2\sin t$$

 

★6-3. 라플라스 변환: 디랙 델타 함수, 부분분수, 합성곱(Convolution)과 응용 10문제와 풀이