6-3. 라플라스 변환: 디랙 델타 함수, 부분분수, 합성곱(Convolution)과 응용 10문제와 풀이

[본문글] 6-3. 라플라스 변환: 디랙 델타 함수, 부분분수, 합성곱(Convolution)과 응용

 

[문제 1] 다음 초기값 문제(IVP)의 해 $y(t)$를 구하여라.$$y'' + 9y = \delta(t - 2\pi), \quad y(0) = 4, \; y'(0) = 0$$

[풀이]

주어진 미분방정식의 양변에 라플라스 변환을 취한다. $\mathcal{L}{y(t)} = Y(s)$라 두면, 도함수의 라플라스 변환 성질과 디랙 델타 함수의 변환 성질 $\mathcal{L}{\delta(t-a)} = e^{-as}$에 의해 다음과 같이 정리된다.

$$\mathcal{L}\{y''\} + 9\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{\delta(t - 2\pi)\}$$

$$[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] + 9 Y(s) = e^{-2\pi s}$$

주어진 초기조건 $y(0) = 4, y'(0) = 0$을 대입한다.

$$s^2 Y(s) - 4s + 9 Y(s) = e^{-2\pi s}$$

$$(s^2 + 9) Y(s) - 4s = e^{-2\pi s}$$

$Y(s)$에 대해 식을 정리한다.

$$(s^2 + 9) Y(s) = 4s + e^{-2\pi s}$$

$$Y(s) = \frac{4s}{s^2 + 9} + \frac{e^{-2\pi s}}{s^2 + 9}$$

이제 우변의 각 항에 대해 라플라스 역변환을 적용한다.

첫 번째 항 역변환:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{4s}{s^2 + 9} \right\} = 4 \cos(3t)$$

두 번째 항 역변환:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{ e^{-2\pi s} \frac{1}{s^2 + 9} \right\} = \frac{1}{3} \sin(3(t - 2\pi)) u(t - 2\pi)$$

삼각함수의 주기성에 의해 $\sin(3t - 6\pi) = \sin(3t)$ 이므로:

$$= \frac{1}{3} \sin(3t) u(t - 2\pi)$$

$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s^2 + 9} \right\} = \frac{1}{3} \sin(3t)$ 이므로, 제2 이동 정리 $\mathcal{L}^{-1}{e^{-as} F(s)} = f(t-a)u(t-a)$를 적용한다.

따라서 구하고자 하는 최종 해 $y(t)$는 다음과 같다.

$$y(t) = 4 \cos(3t) + \frac{1}{3} \sin(3t) u(t - 2\pi)$$

이를 구간별로 나누어 쓰면 다음과 같다.

$$y(t) = \begin{cases} 4 \cos(3t), & 0 \le t < 2\pi \\ 4 \cos(3t) + \frac{1}{3} \sin(3t), & t \ge 2\pi \end{cases}$$

해의 물리적 해석: $t = 2\pi$ 이전까지는 외부 충격 없이 초기조건 $y(0)=4$에 의해 진폭이 $4$인 코사인 진동을 유지하다가, $t = 2\pi$ 순간에 단위 충격 $\delta(t-2\pi)$가 가해지면서 위상과 진폭이 변화된 새로운 합성 진동 형태로 진행된다.

[문제 2] 다음 초기값 문제를 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.$$y'' + 4y = 3\delta(t - \pi) - 3\delta(t - 3\pi), \quad y(0) = 0, \; y'(0) = 2$$

[풀이]양변에 라플라스 변환을 취하고 $Y(s) = \mathcal{L}{y(t)}$라 둔다.

$$[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] + 4Y(s) = 3e^{-\pi s} - 3e^{-3\pi s}$$

초기조건 $y(0) = 0, y'(0) = 2$를 대입한다.

$$(s^2 + 4)Y(s) - 2 = 3e^{-\pi s} - 3e^{-3\pi s}$$

$$(s^2 + 4)Y(s) = 2 + 3e^{-\pi s} - 3e^{-3\pi s}$$

$$Y(s) = \frac{2}{s^2 + 4} + \frac{3e^{-\pi s}}{s^2 + 4} - \frac{3e^{-3\pi s}}{s^2 + 4}$$

각 항에 대해 역변환을 취한다.

$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2}{s^2 + 4} \right\} = \sin(2t)$

$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s^2 + 4} \right\} = \frac{1}{2}\sin(2t)$ 이므로, 제2 이동 정리에 의해:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{3e^{-3\pi s}}{s^2 + 4} \right\} = \frac{3}{2}\sin(2(t-3\pi))u(t-3\pi) = \frac{3}{2}\sin(2t)u(t-3\pi)$$

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{3e^{-\pi s}}{s^2 + 4} \right\} = \frac{3}{2}\sin(2(t-\pi))u(t-\pi) = \frac{3}{2}\sin(2t - 2\pi)u(t-\pi) = \frac{3}{2}\sin(2t)u(t-\pi)$$

따라서 해 $y(t)$는 다음과 같다.

$$y(t) = \sin(2t) + \frac{3}{2}\sin(2t)u(t-\pi) - \frac{3}{2}\sin(2t)u(t-3\pi)$$

[문제 3] 다음 초기값 문제를 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.$$y'' + 2y' + 5y = 10\delta(t - 1), \quad y(0) = 0, \; y'(0) = 4$$

[풀이] 양변에 라플라스 변환을 취한다.

$$[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] + 2[s Y(s) - y(0)] + 5Y(s) = 10e^{-s}$$

초기조건 $y(0) = 0, y'(0) = 4$를 대입한다.

$$(s^2 + 2s + 5)Y(s) - 4 = 10e^{-s}$$

$$(s^2 + 2s + 5)Y(s) = 4 + 10e^{-s}$$

$$Y(s) = \frac{4}{(s+1)^2 + 4} + \frac{10e^{-s}}{(s+1)^2 + 4}$$

역변환을 취하기 위해 기본형 $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s+1)^2 + 4}\right\} = e^{-t}\sin(2t)$를 이용한다.

첫 번째 항: $2 \cdot \frac{2}{(s+1)^2 + 4} \implies 2e^{-t}\sin(2t)$

두 번째 항: $5 \cdot e^{-s} \frac{2}{(s+1)^2 + 4} \implies 5 e^{-(t-1)}\sin(2(t-1))u(t-1)$

따라서 해 $y(t)$는 다음과 같다.

$$y(t) = 2e^{-t}\sin(2t) + 5e^{-(t-1)}\sin(2t - 2)u(t-1)$$

 

[문제 4] 다음 초기값 문제를 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.$$y'' + 3y' + 2y = u(t - 2) + 2\delta(t - 1), \quad y(0) = 0, \; y'(0) = 0$$

[풀이] 양변에 라플라스 변환을 취한다. 초기조건이 모두 $0$이므로:

$$(s^2 + 3s + 2)Y(s) = \frac{e^{-2s}}{s} + 2e^{-s}$$

$$(s+1)(s+2)Y(s) = \frac{e^{-2s}}{s} + 2e^{-s}$$

$$Y(s) = e^{-2s} \cdot \frac{1}{s(s+1)(s+2)} + e^{-s} \cdot \frac{2}{(s+1)(s+2)}$$

우변의 분수식들을 부분분수로 전개한다.

$\frac{1}{s(s+1)(s+2)}$ 전개:$$\frac{1}{s(s+1)(s+2)} = \frac{1/2}{s} - \frac{1}{s+1} + \frac{1/2}{s+2}$$

이의 역변환 함수를 $F_1(t)$라 하면:

$$F_1(t) = \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t}$$

$\frac{2}{(s+1)(s+2)}$ 전개:$$\frac{2}{(s+1)(s+2)} = \frac{2}{s+1} - \frac{2}{s+2}$$

이의 역변환 함수를 $F_2(t)$라 하면:

$$F_2(t) = 2e^{-t} - 2e^{-2t}$$

제2 이동 정리를 적용하여 전체 역변환을 구한다.

$$y(t) = F_1(t-2)u(t-2) + F_2(t-1)u(t-1)$$

평행이동된 식을 각각 대입하여 최종 해를 구한다.

$$y(t) = \left( \frac{1}{2} - e^{-(t-2)} + \frac{1}{2}e^{-2(t-2)} \right) u(t-2) + \left( 2e^{-(t-1)} - 2e^{-2(t-1)} \right) u(t-1)$$

[문제 5] 정의를 이용하여 합성곱 $(f * g)(t)$를 직접 적분으로 계산하여라.$$f(t) = e^{3t}, \quad g(t) = \cos(2t)$$

[풀이] 합성곱의 정의 $(f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau$에 대입한다.

$$(f * g)(t) = \int_{0}^{t} e^{3\tau} \cos(2(t - \tau)) \, d\tau$$

삼각함수의 덧셈정리 $\cos(2t - 2\tau) = \cos(2t)\cos(2\tau) + \sin(2t)\sin(2\tau)$를 적용하여 적분 기호 밖으로 $t$에 대한 항을 꺼낸다.

$$(f * g)(t) = \cos(2t) \int_{0}^{t} e^{3\tau}\cos(2\tau) \, d\tau + \sin(2t) \int_{0}^{t} e^{3\tau}\sin(2\tau) \, d\tau$$

부분적분 공식 또는 라플라스 기본적분 공식을 이용하여 계산한다.

$\int e^{a\tau}\cos(b\tau) \, d\tau = \frac{e^{a\tau}(a\cos b\tau + b\sin b\tau)}{a^2 + b^2}$

$\int e^{a\tau}\sin(b\tau) \, d\tau = \frac{e^{a\tau}(a\sin b\tau - b\cos b\tau)}{a^2 + b^2}$

여기서 $a = 3, b = 2$ 이므로 $a^2 + b^2 = 13$ 이다.

첫 번째 적분:

$$\int_{0}^{t} e^{3\tau}\cos(2\tau) \, d\tau = \left[ \frac{e^{3\tau}(3\cos 2\tau + 2\sin 2\tau)}{13} \right]_{0}^{t} = \frac{e^{3t}(3\cos 2t + 2\sin 2t) - 3}{13}$$

두 번째 적분:

$$\int_{0}^{t} e^{3\tau}\sin(2\tau) \, d\tau = \left[ \frac{e^{3\tau}(3\sin 2\tau - 2\cos 2\tau)}{13} \right]_{0}^{t} = \frac{e^{3t}(3\sin 2t - 2\cos 2t) + 2}{13}$$

이를 원래 식에 대입하여 전개한다.

$$(f * g)(t) = \cos(2t) \left[ \frac{e^{3t}(3\cos 2t + 2\sin 2t) - 3}{13} \right] + \sin(2t) \left[ \frac{e^{3t}(3\sin 2t - 2\cos 2t) + 2}{13} \right]$$

$$= \frac{e^{3t}}{13} \left[ 3\cos^2(2t) + 2\sin(2t)\cos(2t) + 3\sin^2(2t) - 2\sin(2t)\cos(2t) \right] + \frac{-3\cos(2t) + 2\sin(2t)}{13}$$

삼각함수 관계식 $\cos^2(2t) + \sin^2(2t) = 1$을 적용하여 정리한다.

$$(f * g)(t) = \frac{3e^{3t} - 3\cos(2t) + 2\sin(2t)}{13}$$

[문제 6] 다음 적분방정식을 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.$$y(t) + 3\int_{0}^{t} y(\tau) e^{2(t-\tau)} \, d\tau = 2e^{t}$$

[풀이] 적분항은 $y(t) * e^{2t}$ 의 합성곱이다. 양변에 라플라스 변환을 취하고 $Y(s) = \mathcal{L}{y(t)}$라 둔다.

$$Y(s) + 3 \cdot Y(s) \cdot \frac{1}{s - 2} = \frac{2}{s - 1}$$

좌변을 $Y(s)$로 묶는다.

$$Y(s) \left( 1 + \frac{3}{s - 2} \right) = \frac{2}{s - 1}$$

$$Y(s) \left( \frac{s + 1}{s - 2} \right) = \frac{2}{s - 1}$$

$Y(s)$에 대해 식을 정리한다.

$$Y(s) = \frac{2(s - 2)}{(s - 1)(s + 1)}$$

부분분수로 전개한다.

$$\frac{2s - 4}{(s - 1)(s + 1)} = \frac{A}{s - 1} + \frac{B}{s + 1}$$

$A = \left. \frac{2s - 4}{s + 1} \right\vert{}_{s=1} = \frac{-2}{2} = -1$

$B = \left. \frac{2s - 4}{s - 1} \right\vert{}_{s=-1} = \frac{-6}{-2} = 3$

따라서 $Y(s)$는 다음과 같다.

$$Y(s) = -\frac{1}{s - 1} + \frac{3}{s + 1}$$

라플라스 역변환을 취하여 해 $y(t)$를 구한다.

$$y(t) = -e^{t} + 3e^{-t}$$

 

[문제 7] 합성곱 정리(Convolution Theorem)를 이용하여 다음 식의 라플라스 역변환 $f(t)$를 구하여라.$$F(s) = \frac{16}{(s^2 + 4)^2}$$

[풀이] $F(s)$를 두 분수의 곱 형태 $\mathcal{L}{g(t)} \cdot \mathcal{L}{h(t)}$로 분리한다.

$$F(s) = 4 \cdot \frac{2}{s^2 + 4} \cdot \frac{2}{s^2 + 4}$$

$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2}{s^2 + 4} \right\} = \sin(2t)$ 이므로, 합성곱 정리에 의해 역변환 $f(t)$는 다음과 같이 표현된다.

$$f(t) = 4 \int_{0}^{t} \sin(2\tau) \sin(2(t - \tau)) \, d\tau$$

삼각함수 적의 공식을 적용한다: $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$.

$A - B = 2\tau - (2t - 2\tau) = 4\tau - 2t$

$A + B = 2\tau + (2t - 2\tau) = 2t$

$$f(t) = 4 \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \left[ \cos(4\tau - 2t) - \cos(2t) \right] \, d\tau$$

$$= 2 \int_{0}^{t} \cos(4\tau - 2t) \, d\tau - 2 \cos(2t) \int_{0}^{t} 1 \, d\tau$$

적분을 계산한다.

$$f(t) = 2 \left[ \frac{\sin(4\tau - 2t)}{4} \right]_{0}^{t} - 2t \cos(2t)$$

$$= 2 \left[ \frac{\sin(2t) - \sin(-2t)}{4} \right] - 2t \cos(2t)$$

$\sin(-2t) = -\sin(2t)$ 이므로 $\sin(2t) - \sin(-2t) = 2\sin(2t)$ 가 된다.

 

[문제 8] 도함수 합성곱이 포함된 적분방정식 (Volterra with Derivative Kernel)

다음 적분방정식을 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.$$y(t) = t + \int_{0}^{t} y'(\tau) \sin(t - \tau) \, d\tau, \quad y(0) = 1$$

[풀이]

우변의 적분항은 $y'(t) * \sin t$ 의 합성곱이다.

양변에 라플라스 변환을 취하고 $Y(s) = \mathcal{L}{y(t)}$라 둔다.

$$\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{t\} + \mathcal{L}\{y'(t)\} \cdot \mathcal{L}\{\sin t\}$$

미분 정리 $\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)$ 와 초기조건 $y(0) = 1$을 대입한다.

$$Y(s) = \frac{1}{s^2} + [sY(s) - 1] \cdot \frac{1}{s^2 + 1}$$

우변을 전개하여 $Y(s)$ 항을 좌변으로 이항한다.

$$Y(s) - Y(s) \frac{s}{s^2 + 1} = \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^2 + 1}$$

좌변과 우변을 각각 통분하여 정리한다.

$$Y(s) \left( \frac{s^2 - s + 1}{s^2 + 1} \right) = \frac{(s^2 + 1) - s^2}{s^2(s^2 + 1)} = \frac{1}{s^2(s^2 + 1)}$$

양변에 $(s^2 + 1)$을 곱하고 $Y(s)$에 대해 푼다.

$$Y(s) = \frac{1}{s^2(s^2 - s + 1)}$$

부분분수로 전개한다.

$$\frac{1}{s^2(s^2 - s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{Cs + D}{s^2 - s + 1}$$

양변에 $s^2(s^2 - s + 1)$을 곱하여 계수를 비교한다.

$$1 = A s(s^2 - s + 1) + B(s^2 - s + 1) + (Cs + D)s^2$$

$$1 = (A + C)s^3 + (-A + B + D)s^2 + (A - B)s + B$$

계수 비교:

$B = 1$

$A - B = 0 \implies A = 1$

$-A + B + D = 0 \implies -1 + 1 + D = 0 \implies D = 0$

$A + C = 0 \implies C = -1$

따라서 $Y(s)$는 다음과 같다.

$$Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} - \frac{s}{\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}}$$

세 번째 항을 완전제곱식에 맞게 변형한다.

$$\frac{s}{\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{s - \frac{1}{2}}{\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$$

라플라스 역변환을 취해 최종 해 $y(t)$를 구한다.

$$y(t) = 1 + t - e^{\frac{1}{2}t}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) - \frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{2}t}\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)$$

 

[문제 9]합성곱 정리와 라플라스 변환의 성질을 이용하여 다음 이상적분의 값을 구하여라.$$I = \int_{0}^{\infty} t e^{-2t} \int_{0}^{t} \sin\tau \cdot \cos(t-\tau) \, d\tau \, dt$$

[풀이]

적분 내부의 식 $g(t) = \int_{0}^{t} \sin\tau \cdot \cos(t-\tau) \, d\tau$는 $\sin t * \cos t$ 의 합성곱이다.

따라서 전체 구하고자 하는 적분 $I$는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$$I = \int_{0}^{\infty} e^{-2t} \left[ t \cdot (\sin t * \cos t) \right] dt$$

이는 라플라스 변환의 정의 $\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$ 에서 $s = 2$ 일 때의 값이다. 즉,

$$I = \left. \mathcal{L}\left\{ t \cdot (\sin t * \cos t) \right\} \right\vert{}_{s=2}$$

합성곱의 라플라스 변환:

$$\mathcal{L}\{\sin t * \cos t\} = \mathcal{L}\{\sin t\} \cdot \mathcal{L}\{\cos t\} = \frac{1}{s^2 + 1} \cdot \frac{s}{s^2 + 1} = \frac{s}{(s^2 + 1)^2}$$

$t$가 곱해진 함수의 라플라스 변환 성질 ($\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$):$$\mathcal{L}\left\{ t \cdot (\sin t * \cos t) \right\} = -\frac{d}{ds} \left[ \frac{s}{(s^2 + 1)^2} \right]$$

목몫의 미분법을 적용한다.

$$-\frac{d}{ds} \left[ \frac{s}{(s^2 + 1)^2} \right] = -\frac{1 \cdot (s^2 + 1)^2 - s \cdot 2(s^2 + 1)(2s)}{(s^2 + 1)^4} = -\frac{(s^2 + 1) - 4s^2}{(s^2 + 1)^3} = \frac{3s^2 - 1}{(s^2 + 1)^3}$$

$s = 2$ 대입:

$$I = \frac{3(2)^2 - 1}{(2^2 + 1)^3} = \frac{12 - 1}{5^3} = \frac{11}{125}$$

따라서 해당 적분값은 $\frac{11}{125}$ 이다.

[문제 10] 전달함수(Transfer Function)와 하중함수(Weight Function)의 합성곱 표현

다음 2계 미분방정식의 계를 고려하자.

$$y'' + 4y' + 3y = r(t), \quad y(0) = 0, \; y'(0) = 0$$

입력 $r(t)$가 구체적으로 주어지지 않았을 때, 이 시스템의 해 $y(t)$를 전달함수(전달응답) $h(t)$와 입력 $r(t)$의 합성곱 형태 $y(t) = (h * r)(t)$ 로 나타내고, 하중함수 $h(t)$를 구하여라.

[풀이]

초기조건이 모두 $0$이므로 양변에 라플라스 변환을 취하면 다음과 같다.

$$(s^2 + 4s + 3)Y(s) = R(s)$$

따라서 출력 $Y(s)$는 다음과 같이 정리된다.

$$Y(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 3} \cdot R(s) = H(s) \cdot R(s)$$

여기서 $H(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 3}$ 은 전달함수(Transfer Function)이다.

$H(s)$를 부분분수로 전개한다.

$$H(s) = \frac{1}{(s+1)(s+3)} = \frac{1/2}{s+1} - \frac{1/2}{s+3}$$

$H(s)$에 라플라스 역변환을 취하여 하중함수(Impulse Response) $h(t)$를 구한다.

$$h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\} = \frac{1}{2}e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-3t}$$

합성곱 정리 $Y(s) = H(s)R(s) \iff y(t) = (h * r)(t)$ 에 의해, 임의의 입력 $r(t)$에 대한 해 $y(t)$는 다음과 같이 작성된다.

$$y(t) = \int_{0}^{t} \left( \frac{1}{2}e^{-(t-\tau)} - \frac{1}{2}e^{-3(t-\tau)} \right) r(\tau) \, d\tau$$